Storie di rette che si incontrano, se lo vogliamo …

Ma, insomma, due rette parallele si incontrano o no ? E se si incontrano, che si dicono, diceva Corrado Guzzanti ?

Bella domanda, perché richiede un radicale cambio di mentalità da cui scaturisce una risposta sorprendente: si incontrano, se lo vogliamo..

Sorpresi? Continuate a leggere …

In data imprecisata, intorno al 300 aC, Euclide ha iniziato e perfezionato un meticolosissimo gioco di costruzioni che culminerà nientemeno che nella geometria che abbiamo imparato a scuola: la geometria Euclidea, appunto. L’idea di Euclide è estremamente semplice: identificare un numero più piccolo possibile di ipotesi, dette assiomi o postulati, da usare esattamente come mattoncini di costruzioni elementari per costruire l’intera geometria.

Gli assiomi sono definiti in modo tale da essere talmente semplici da poter essere accettati come veri, per cui non è necessaria alcuna dimostrazione. Più che un atto di fede, diciamo che sono verità così elementari da poter essere recepite senza discuterle. Non dogmi quindi, ma ipotesi di base condivise per mutuo accordo.

Gli assiomi identificati inzialmente da Euclide erano ben più di quelli arrivati fino a noi oggi, ma attraverso un metodo di dimostrazione piuttosto sofisticato ed elaborato, tra cui la riduzione per assurdo (che merita un post a sé stante), è riuscito a semplificare ulteriormente fino a rimanere con soli 5 postulati, vediamone i primi quattro:

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.

2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.

3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.

4. Tutti gli angoli retti sono congruenti (uguali).

Sembra incredibile, ma da questi assiomi è possibile costruire l’intera geometria. Ci sono due fatti importanti da comprendere: il primo è che questi assiomi sono condivisi, un pò come un contratto tra Euclide e l’umanità. Euclide ci sta dicendo questi assiomi sono degli strumenti, esattamente come il martello e lo scalpello dello scultore, per costruire la geometria. Il secondo è che non siamo costretti ad usarli per forza.

Prima di usare i postulati dobbiamo accettare ancora un piccolo patto con Euclide, che ci regala alcuni oggetti base da usare:

• Il punto.
• La retta.
• L’angolo retto.

Tralasciamo per un po’ il quinto postulato, e cerchiamo di capire come usare i primi quattro per costruire un ente geometrico semplice, come ad esempio il quadrato. Per costruire il quadrato possiamo usare gli assiomi in sequenza:

1. Tracciamo due punti: A e B.
2. Usiamo il primo assioma, per tracciare la retta tra i punti A e B su cui giace la base del nostro quadrato.
3. Ci spostiamo sul punto B ed usiamo il terzo assioma per tracciare un cerchio passante per A. Il cerchio appena disegnato intersecherà la retta nel punto C. Il segmento AC costituisce il primo lato del nostro quadrato.
4. Ci spostiamo sul punto A ed usiamo e tracciamo una retta perpendicolare ad esso.
5. Usiamo il terzo assioma per tracciare un cerchio avente raggio AB.
6. Chiamiamo D il punto di intersezione tra il cerchio e la retta.
7. Ci spostiamo in D e tracciamo un cerchio di raggio AD.
8. Chiamiamo E il punto di intersezione tra il cerchio e la retta tracciata al punto 4. Il segmento AE è il secondo lato del nostro quadrato.
9. Ripetiamo altre due volte i punti da 3 a 8 per tracciare gli altri due lati.

Come facciamo ad essere sicuri che il nostro quadrato sia regolare ? Il quarto postulato ci garantisce che i 4 lati formano lo stesso angolo e, inoltre, possiamo usare il terzo postulato per accertarci che i lati siano parimenti uguali.

I postulati e gli elementi geometrici di base possono essere usati iterativamente per costruire l’intera geometria. Se noi chiamiamo la procedura di cui sopra “quadrato”, sappiamo che possiamo usarla ogni volta che vogliamo per costruire tutti i quadrati che vogliamo. Capite la potenza dell’approccio di Euclide ?

Rimanete sintonizzati, nel prossimo post parliamo del quinto postulato …

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