Quadrati Magici: oggetti indubbiamente curiosi. Ieri abbiamo messo in borsa diversi ferri del mestiere, oggi impariamo a costruire i quadrati magici di ordine dispari e aggiungiamo un ferro del mestiere ancora più potente: l’intuizione e l’immaginazione.
Intuizione e immaginazione in matematica, direte ? Eh già. Contrariamente a quanto vuole il senso comune, e cioè che la matematica sia una materia arida, il matematico DOC impara a risolvere i propri problemi trasformandoli in problemi più semplici, per cui ha una soluzione già pronta nella propria “borsa dei ferri del mestiere” o in modo tale da renderli più facilmente trattabili. Lo abbiamo visto fare ad Eratostene, quando ha ricondotto il problema della misurazione della circonferenza terrestre alla misurazione di un angolo e lo vedremo in più occasioni in questo blog.
L’intuizione è necessaria al matematico perché gli consente di vedere un problema sotto un altro punto di vista, scelto ad arte in modo tale da rendere più agevole la costruzione della soluzione. Una volta individuata la trasformazione giusta, il problema originale è molto più semplice da risolvere. Il punto chiave da comprendere è che la soluzione del problema trasformato è riconducibile alla soluzione del problema originale. Il procedimento di costruzione dei quadrati magici di ordine dispari ci consente di introdurre un semplice esempio di trasformazione.
Consideriamo una griglia 5 x 5 con i numeri da 1 a 25 in progressione aritmetica:
va da sé che siamo molto lontani, ancora, dall’aver costruito un quadrato magico. Osservate i totali di riga e colonna (in rosso): la somma delle colonne cresce a multipli di 5, mentre delle righe a multipli di 25. Inserendo i numeri in ordine progressivo si ottiene, quindi, che le righe più in alto e le colonne più a sinistra hanno somma minore di quelle più in basso e più a destra.
Non è un caso, ovviamente: ciò accade proprio perché iniziamo ad inserire i numeri minori in alto a sinistra e terminiamo con i maggiori in basso a destra. Potremmo provare a fare una cosa, e cioè a “salire in diagonale”, in modo tale da compensare l’aumento in progressione dei numeri mediante uno spostamento ad-hoc. Ma come facciamo, visto che la griglia è quadrata e incontreremmo così i bordi ?
Ci vuole un’idea … E se, arrivati al bordo – qualsiasi sia – riprendessimo dal bordo opposto ? Se iniziamo a muoverci lungo la giglia in questo modo, stiamo di fatto trasformando la nostra griglia in un oggetto tridimensionale: un toro. Una ciambella !
Immaginiamo di stiracchiare il nostro quadrato facendolo diventare un rettangolo e di incollare il bordo superiore a quello inferiore e quello di destra a quello di sinistra. Questa è la nostra trasformazione: costruiremo il quadrato magico muovendoci lungo un toro, ovvero quando usciremo dal bordo inferiore riprenderemo da quello superiore e viceversa, idem per i bordi destro e sinistro.
Il procedimento di costruzione di un quadrato magico di ordine dispari è semplicissimo, si parte dalla casella centrale della prima riga e si procede sempre in alto a destra. Ricordate che stiamo sempre muovendoci su una ciambella: che succede quando la casella in alto a destra è occupata ? Ci spostiamo in basso di una riga e riprendiamo il moto diagonale solito.
Iniziamo quindi dalla casella centrale della prima riga e proseguiamo in diagonale, ricordate di proseguire sempre dal lato opposto. Arrivati al 5 (Fig. 1) non possiamo più proseguire in alto e riprendiamo dalla casella immediatamente sottostante. Date un’occhiata ai totali di riga e colonna, sempre in rosso: sembra che il nostro metodo abbia buone probabilità di funzionare, dato che le somme di riga e colonna dimostrano già una buona simmetria.
Continuiamo fino al 10 (Fig. 2) et voilà, ci siamo di nuovo fermati. Non è un caso che ciò accada ogni 5, come accade al 15 (Fig. 3). Riprendiamo come al solito dalla riga inferiore e completiamo il quadrato magico, come in Fig. 4.
Il bello di questo procedimento è che è generalizzabile per un qualsiasi ordine N dispari.
I quadrati magici sono un oggetto molto interessante della matematica ricreativa e rappresentano un modo divertente per accostarsi alla matematica combinatoria. Per risolvere problemi di combinatoria il matematico deve imparare a vedere il problema, come abbiamo fatto oggi, sotto prospettive diverse.
Ci torneremo più in là riprendendo a parlare di Karl Friedrich Gauss.
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Adoro queste cose… Da piccola avevo imparato a fare i quadrati magici, ma mi ero dimenticata il procedimento. Non sarà una cosa che userò tutti i giorni, ma sono contenta di saperlo fare di nuovo.
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