Cantor e la teoria (ingenua) degli insiemi.

Il matematico, lo abbiamo detto più volte, è un pò come un artigiano: ha la sua brava officina personale con il proprio corredo di “attrezzi da lavoro”. Nella nostra borsa del matematico abbiamo già messo diversi strumenti: il teorema fondamentale dell’aritmetica, gli assiomi della geometria euclidea, la somma dei primi N numeri naturali ed altro.

Oggi parliamo di un “attrezzo” matematico che è rimasto poco utilizzato in forma embrionale in un cantuccio per qualche secolo, per poi essere riscoperto in tutta la sua magnifica versatilità: la Teoria degli Insiemi.

Fu Georg Cantor, matematico tedesco nato nell’odierna Russia a gettare le basi, verso fine ‘800, per la teoria degli insiemi oggi insegnata alle scuole elementari, fondamento della moderna scienza dei calcolatori, dell’intelligenza artificiale e dell’informatica in generale. A Cantor dobbiamo risultati sorprendenti, fortemente controintuitivi, come ad esempio la gerarchia degli infiniti. Il brillante matematico finì male, come vuole l’inconografia classica del genio moderno: povero, solo e con gravi problemi mentali.

Il modello di insieme secondo la teoria di Cantor è semplice da comprendere, ma porta a risultati estremamente interessanti e tutto fuorché banali. Alla base della teoria degli insiemi sta il semplice concetto di appartenenza. Un insieme è, infatti, una collezione di elementi distinti, con due particolarità:
– gli elementi dell’insieme possono essere, a loro volta, insiemi.
– esiste un insieme composto da nessun insieme, detto insieme vuoto.

La relazione di appartenenza si indica con il simbolo ed è alla base di tutte le altre operazioni, relazioni e costrutti definibili per gli insiemi. Gli insiemi possono essere rappresentati per enumerazione o definizione, ad esempio:

1. Enumerazione: G = {Cannavaro, Maldini, Zoff}

2. Definizione: G = {x | x è nella rosa dei primi 3 giocatori con maggior presenze in nazionale}

La prima modalità prevede un semplice elenco degli elementi tra parentesi graffe, mentre la seconda è basata su una definizione, e si legge così:

l’insieme G è composto di tutti gli x tali che x è nella rosa dei primi tre giocatori con maggior presenze in nazionale (italiana)

le due modalità di rappresentazione sono del tutto equivalenti.

Dalla relazione di appartenenza si costruiscono le relazioni di inclusione, indicata con il simbolo :

l’insieme A è incluso in B se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B

e di uguaglianza, indicata con il simbolo = :

l’insieme A è uguale a B se, contemporaneamente, A è incluso in B e B è incluso in A.

Complicato ? Non troppo. Facciamo un esempio e definiamo gli insiemi A e B composti degli elementi a, b, c:

A = {a, b, c}

B = {a, b, c}

è facile verificare che ogni elemento di A è contenuto in B e, contemporaneamente, ogni elemento di B è contenuto in A. In questo caso, gli insiemi sono uguali e questo fatto si indica semplicemente con A = B.

Il numero di elementi di un insieme si dice cardinalità e si indica così: |A|. Nell’esempio di sopra, |A| = |B| = 3. In un post successivo definiremo con maggior precisione il concetto di cardinalità, apparentemente banale, ma ricco di interessanti spunti di riflessione.

Altri due esempi:

A = {x | x è alunno di terza media }
P = {x | x è una persona }

è facile dimostrare che P contiene A (A P), perché ogni elemento di A è anche elemento di P. I Diagrammi di Venn forniscono un modo per rappresentare in modo grafico le relazioni tra insiemi disegnando una linea chiusa per ogni insieme, come nell’esempio che mostra gli insiemi A degli alunni e P delle persone e la relativa relazione di inclusione.

I costrutti e le relazioni tra insiemi sono chiaramente più estesi, ma in questa sede vogliamo limitarci solamente ai più interessanti ai fini divulgativi. Ci sono diversi paradossi e risultati controintuitivi che si possono derivare da una teoria degli insiemi definita in questo modo, come ad esempio l’esistenza di una gerarchia di infiniti e la possibilità di definire insiemi indecidibili, ovvero di insiemi per cui è semplicemente impossibile dire quali elementi contengano.

Questo problema nasce dalla modalità in cui gli insiemi possono essere definiti, secondo la Teoria degli Insiemi di Cantor. Per questo motivo, l’impostazione teorica di Cantor fu definita Naive (o ingenua). Questo problema fu superato dalla Teoria Assiomatica degli Insiemi dei matematici Zermelo e Fraenkel, nei primi anni del XX secolo. Con il lavoro di Skolem, nel 1922, la teoria degli insiemi risultante è alla base della matematica moderna e di tutte le più grandi scoperte degli ultimi cento anni.

Ecco un assaggio di un interessantissimo paradosso che si può comprendere solamente attraverso la teoria degli insiemi:

In un villaggio c’è un unico barbiere. Il barbiere rade tutti (e solo) gli uomini che non si radono da sé. Chi rade il barbiere?

Il Paradosso di Russell aprì una voragine nella logica matematica, superata proprio dalla teoria assiomatica degli insiemi.

Ne parleremo presto, assieme ad un’altra incredibile scoperta di Cantor: gli infiniti non sono tutti uguali. Vedremo anche che la teoria assiomatica degli insiemi avrà il suo bravo postulato, accettabile o meno, esattamente come per le geometrie Euclidee.

Continuate a seguirci.