Logica e paradossi: Bertrand Russell.

Nel post precedente abbiamo introdotto la Teoria degli Insiemi di Cantor, quella che oggi viene insegnata nelle scuole elementari, medie e superiori. Come avviene sempre in scienza che, lo ricordiamo, non è un dogma ma il sistema delle migliori opinioni a disposizione del genere umano, prima o poi una mente geniale trova la falla o il punto dolente delle teorie e apre la porta a nuovi, grandi cambiamenti. E’, ovviamente, un bene perché da ciò scaturisce sempre un balzo avanti della nostra civiltà.

Il personaggio in questione è Bertrand Russell, matematico e filosofo inglese. E’ vissuto, fortunatamente per noi, molto a lungo: quasi 100 anni a cavallo tra il 1800 e il 1900. Pacifista, grande divulgatore di matematica e filosofia, ha avuto sempre posizioni chiare e mai asservite ai potenti di turno. Russell, ateo e agnostico, non accettò mai il dogma cristiano e, come prevedibile, la pagò abbastanza cara. Ad ogni modo, il genere umano deve moltissimo a Bertrand Russell: dalla logica alla filosofia del linguaggio, dopo Russell il mondo non è più stato lo stesso.

Il Paradosso di Russell o paradosso del barbiere, formulato all’inizio del ‘900, fu il vero elemento di rottura nella logica matematica:

In un villaggio c’è un unico barbiere. Il barbiere rade tutti (e solo) gli uomini che non si radono da sé. Il barbiere si rade da solo ?

Con questo paradosso Russell dimostrò che non è sufficiente poter definire gli insiemi in modo libero, come prevede la teoria degli insiemi di Cantor, per essere certi che gli insiemi definiti abbiano veramente senso.

Cosa vuol dire ? Attenzione: non stiamo parlando di insiemi vuoti. Ad esempio, l’insieme degli uomini che hanno sei zampe è vuoto, cioé non conta alcun elemento. La definizione che usiamo, sebbene grottesca o assurda, ha comunque una soluzione possibile: l’insieme vuoto. Russell dimostra ben altro, ovvero che se adottiamo un formalismo di definizione come quello proposto da Cantor, è possibile definire insiemi per cui non sia possibile determinare se alcuni elementi ne fanno parte o no. Per questo motivo da Russell in poi, dopo l’assiomatizzazione di Zermelo-Fraenkel, ci si riferisce alla Teoria degli Insiemi di Cantor come naive (ingenua, intuitiva).

Per capire perché, approcciando il paradosso di Russell mediante la notazione della teoria degli insiemi di Cantor, abbiamo bisogno di aggiungere un ulteriore strumento alla nostra borsa del matematico: il concetto di relazione come coppia ordinata di elementi appartenenti ad insiemi specifici. Ad esempio siano gli insiemi G e F di genitori e figli:

G = {Paolo, Maria, Francesco}

F = {Marco, Mirko, Sara}

una relazione è un insieme ordinato di coppie. Supponiamo ad esempio che Paolo e Maria abbiano due figli, Marco e Mirko, e che Francesco sia il papà di Sara; questo fatto si può modellare con una relazione, che chiameremo genitore, costituita dalle seguenti coppie:

genitore = {(Paolo, Marco), (Paolo,Mirko), (Maria, Marco), (Maria, Mirko), (Francesco,Sara)}

allora, è possibile rappresentare formalmente il fatto che Maria è la Mamma di Mirko asserendo che la coppia (Maria, Mirko) appartiene alla relazione genitore, o formalmente:

(Maria, Mirko) genitore

E’ possibile rappresentare questa relazione in formato grafico, tracciando archi tra gli insiemi G ed F in corrispondenza degli elementi dei due insiemi in relazione.

L’insieme di tutte le 9 coppie possibili che si possono formare tra G ed F è detto prodotto cartesiano e si indica con G x F. Osservate come la relazione genitore sia un sottoinsieme di tutte le coppie possibili che possiamo formare tra gli elementi di G e quelli di F. Usando la notazione insiemistica, possiamo dire questa cosa in modo molto più sintetico:

genitore G x F

Abbiamo messo abbastanza strumenti nuovi nella nostra borsa del matematico, il lettore volenteroso potrebbe provare ad usarli per modellare il problema del Paradosso di Russell, esistono molti modi per farlo.

Domani ne vedremo uno assieme.