Un infinito più grande: i reali – l'Argomento Diagonale di Cantor (parte 3)

Ieri, abbiamo visto che i reali hanno una struttura piuttosto particolare. Cantor procede concentrandosi sul solo sottoinsieme dei reali [0,1], osservando che, se questo dovesse essere non enumerabile, a maggior ragione non lo sarà l’insieme dei reali (che è sicuramente non più grande). Cantor dimostra che [0,1] non è enumerabile per assurdo (ne abbiamo già parlato) supponendo proprio l’ipotesi contraria: ovvero che [0,1] sia enumerabile.

Se [0,1] è enumerabile, vuol dire che possiamo elencare tutti i suoi elementi associandoli ciascuno ad un numero naturale. Chiamiamo questi elementi X1, X2, …

Costruiamo un nuovo numero reale Y, sempre compreso tra zero e uno, semplicemente aumentando di uno la prima cifra di X1, la seconda cifra di X2 e così via. Quando, sommando 1, arriviamo al 9 riprendiamo da 0.

Mettiamo tutte queste cifre insieme e, siccome abbiamo detto che abbiamo enumerato tutti gli interi possibili tra zero ed uno, deve per forza esistere un certo numero reale uguale all’Y appena costruito.  Cantor dimostrò, con un metodo che è passato alla storia con il nome di Argomento Diagonale di Cantor, che esiste un modo per costruire questo valore Y in modo che sia diverso da tutti gli altri Xi.

Scriviamo il processo di dimostrazione in modo formale. Indichiamo con Xi(j) la j-ma cifra dell’i-mo numero reale tra zero ed uno. E costruiamo Y in modo tale che:

Y(j) = Xi(j)+1 MOD 9

ove MOD 9 si legge modulo 9 e corrisponde al fatto di reiniziare da zero nel caso si superi il 9 (torneremo sulle algebre modulo in seguito).

La figura evidenzia in giallo le cifre disposte lungo la diagonale, secondo la notazione che abbiamo scelto X1(1) è la prima cifra dopo la virgola del primo numero reale, X1(2) la seconda e così via.

Quindi, prendiamo le cifre lungo la diagonale ed aumentiamole di 1 per ottenere le cifre di Y:

Y(1) = X1(1) + 1 = 1
Y(2) = X2(2) + 1 = 5
Y(3) = X3(3) + 1 = 3

e così via.

Il punto è: il numero Y così costruito è stato già enumerato ? Supponiamo che lo sia, ovvero che esiste un Xk uguale ad Y. Va da sé che se Xk = Y allora sono uguali tutte le cifre ovvero:

Xk = Y <=> Xk(i) = Y(i) per ogni cifra i

ma per definizione di Y, Y(k) = Xk(k) + 1. Una evidente contraddizione perché abbiamo ipotizzato che tutte le cifre sono uguali, e quindi che Y(k) = Xk(k) per ipotesi.

La nostra ipotesi porta, quindi, ad una contraddizione. Il che vuol dire che Y non può essere uguale a nessuno degli Xi enumerati, e cioé che la nostra corrispondenza biunivoca tra i reali ed i naturali non esiste.

Quindi, l’infinito dei numeri reali è più grande di quello dei naturali.