La divisione a due cifre.

In un post precedente, abbiamo introdotto l’algoritmo come strumento per il modello di calcolo di funzioni che richiedono passi successivi di elaborazione. Ne vediamo oggi un’applicazione pratica nel calcolo della divisione a due cifre, secondo il modello insegnato oggi nelle scuole elementari.

L’algoritmo della divisione è forzatamente iterativo, cioé composto da un numero di passaggi sempre uguale che si ripete più volte fino al verificarsi di una condizione specifica, detta condizione di arresto.

Iniziamo direttamente con un caso pratico, calcolando 98 (il dividendo) per 37 (il divisore).

L’algoritmo per la divisione a due cifre è composto di 4 sottofasi:

Divisione con dividendo e divisore a due cifre:
1. ipotesi di divisore delle decine.
2. calcolo del prestito alle unità.
3. conferma dell’ipotesi, se l’ipotesi non è confermata ripeti il passo 2 con il divisore ipotizzato ridotto di 1.
4. calcolo del resto
5. se il resto è minore del divisore allora termina l’algoritmo, altrimenti riprendi da 1

Applichiamo l’algoritmo, marcando tra parentesi tonde le ipotesi non confermate e mettendo tra parentesi quadre i prestiti.

Passo 1: ipotesi di divisore delle decine
ipotesi = dividi la decina del dividendo per la decina del divisore.

Calcolo:
la nostra prima ipotesi è 9:3 = 3.

98    | 37
      ------
       (3)

Passo 2: calcolo del prestito all’unità.
prestito = decina del dividendo – ipotesi x decina del divisore

Calcolo:
il prestito è 9 – 3 x 3 = 0

9[0]8    | 37          ------
         (3)

Passo 3: conferma dell’ipotesi
L’ipotesi è confermata se il numero ottenuto usando il prestito (0) come decina e l’unità del dividendo (8), diviso per l’unità del divisore (7) è maggiore o uguale dell’ipotesi fatta (3).

Calcolo:
usiamo il prestito come decina e l’unità del dividendo, otteniamo il numero 08, cioè 8.
Verifichiamo se 8 diviso l’unità del divisore (7) fa almeno l’ipotesi (3). Ma 8 diviso 7 fa 1, quindi l’ipotesi non è confermata.

Riprendiamo quindi dal passo 2 diminuendo l’ipotesi di 1. Cioè con ipotesi pari a 2.

Passo 2: calcolo del prestito all’unità.
prestito = decina del dividendo – ipotesi x decina del divisore

Calcolo:
il prestito è 9 – 2 x 3 = 3

9[3]8    | 37
         ------
          (2)

Passo 3: conferma dell’ipotesi
L’ipotesi è confermata se il numero ottenuto usando il prestito come decina e l’unità del dividendo, diviso per l’unità del divisore è maggiore o uguale dell’ipotesi fatta.

Calcolo
usiamo il prestito come decina e l’unità del dividendo, otteniamo il numero 38. Verifichiamo se 38 diviso l’unità del divisore (7) fa almeno l’ipotesi (2). L’ipotesi è confermata perché 38 diviso 7 fa 5 con resto di 3.

Ipotesi confermata = 2, usiamola per il calcolo del resto.

Passo 4: calcolo del resto.

Resto = dividendo – ipotesi confermata x divisore

Calcolo:

Resto = 98 – 2×37 = 24

98     | 37
74     ------
--      2
24

Passo 5: il resto è minore del dividendo, l’algoritmo termina.

98 diviso 37 fa 2 con il resto di 24.

L’algoritmo con dividendo e divisore a due cifre è la parte centrale dell’algoritmo di divisione con divisore ad un numero qualsiasi di cifre. Che è il seguente:

Algoritmo di divisione con divisore a due cifre:
1. Se le prime due cifre del divisore sono maggiori del dividendo, abbassa le prime due cifre, altrimenti usa le prime 3 cifre.
2. Esegui la divisione con dividendo e divisore a due cifre. Nel caso siano abbassate le prime 3 cifre usa le prime due cifre per il calcolo della prima ipotesi.
3. Abbassa la cifra successiva e riparti dal passo 2 fino ad esaurire le cifre del dividendo.

Facciamo un altro esempio pratico, dividendo 987 per 37.

Passo 1:
ipotesi corrente: 9: 3 = 3

987    | 37
       ------
        (3)

Passo 2:
prestito: 9-3×3 = 0

9[0]8 7    | 37
           ------
           (3)

Passo 3:
conferma dell’ipotesi: il 7 non sta nell’ 8 3 volte, quindi l’ipotesi non è confermata. La nuova ipotesi è 2. Riprendiamo dal passo 2.

Passo 2:
prestito: 9-3×2 = 3

9[3]8 7    | 37
           ------
           (2)

Passo 3:
conferma dell’ipotesi: il 7 sta nell’ 38 più di 2 volte, quindi l’ipotesi  è confermata.

Passo 4:
calcolo del resto 98 – 2×37

98 7    | 37
74      ------
--       2
24

Abbasso il 7 e ripeto la procedura:

98 7    | 37
74      ------
--       2
24 7

Passo 1:
il 3 è maggiore di 2, quindi devo usare il 24 per formulare la prima ipotesi. 24:3 = 8

98 7    | 37
54      ------
--        2(8)
247

Passo 2:
prestito:  24 – 3×8 = 0

98 7    | 37
74      ------
--       2(8)
24[0]7

Passo 3:
conferma dell’ipotesi: il 7 sta nell’ 7 meno di 8 volte, quindi l’ipotesi  non è confermata. Nuova ipotesi: 7

Passo 2:
prestito:  24 – 3×7 = 3

98 7    | 37
74      ------
--       2(7)
24[3]7

Passo 3:
conferma dell’ipotesi: il 7 sta nell’ 37 meno di 7 volte, quindi l’ipotesi  non è confermata. Nuova ipotesi: 6

Passo 2:
prestito:  24 – 3×6 = 6

98 7    | 37
74      ------
--       2(6)
24[6]7

Passo 3:
conferma dell’ipotesi: il 7 sta nell’ 67 più di 6 volte, quindi l’ipotesi  è confermata.

Passo 4:
calcoliamo il resto 247-6×37

98 7    | 37
74      ------
--       26
247
222
---
 25

Quindi, 987 diviso 37 fa 26 con il resto di 25.