Di forza, massa, spazio e tempo

Nel post dedicato alla meccanica Newtoniana abbiamo introdotto i concetti di massa, velocità, accelerazione, mentre conosciamo intuitivamente il significato del concetto di tempo e posizione.

La fisica classica è un meraviglioso sistema matematico che consente di prevedere la posizione di un oggetto o di un sistema di oggetti nel tempo, avendo a disposizione una descrizione formale delle forze che questi si scambiano. Conosciamo benissimo “posizione” e “tempo” perché sono concetti con cui abbiamo a che fare ogni giorno. Quando andiamo al lavoro cambiamo continuamente la nostra posizione in un lasso di tempo definito per spostarci da un punto ad un altro.

Forza, massa, spazio e tempo  sono grandezze fondamentali per determinare il comportamento di corpi e sistemi di corpi, anche complessi. Velocità ed accelerazione sono, per così dire, grandezze “speciali” perché sono determinate da una variazione, nel tempo, della posizione nello spazio.

Conosciamo bene il concetto di velocità, il tachimetro della nostra autovettura ce la ricorda continuamente. Abbiamo già detto che la velocità si ottiene dividendo lo spazio percorso per il tempo che impieghiamo a percorrerlo:

v = s / t

sappiamo benissimo che andare alla velocità di 170 Km/h in automobile ha come effetto pratico di percorrere uno spazio di 170 Km in un’ora di tempo (e di farci ritirare la patente). Se lo spazio è misurato in metri e il tempo in secondi, la velocità è misurata in metri al secondo (m/s).

Abbiamo anche visto che l’accelerazione, a sua volta, è data dalla variazione della velocità nel tempo:

a = v / t

misurata in metri al secondo quadrato (m/s^2).

Introduciamo una notazione: quando parliamo di variazione, anteponiamo una d minuscola alla grandezza di cui osserviamo la variazione. Ad esempio, se in un secondo la variazione della nostra posizione è di 30 m, indicheremo le variazioni dello spazio e del tempo così:

ds = 30m

dt = 1s

E, quindi, la nostra velocità sarà pari a:

v = ds / dt = 30 m/s

Osservate un fatto interessante: la velocità è una variazione dello spazio nel tempo, e l’accelerazione è una variazione nel tempo della velocità. Ne daremo più un là una formulazione molto più precisa, per ora ci basti dire che l’operazione di calcolare la variazione di una grandezza rispetto al tempo prende il nome di derivata temporale.

Prendiamola per ora come convenzione, più in là ci sarà utile per parlare del calcolo differenziale. Al di là degli aspetti formali, che affronteremo in seguito, l’importante è comprendere che la velocità è l’espressione di una variazione dello spazio, nel tempo e l’accelerazione è invece l’espressione di una variazione di velocità nel tempo.

Spazio, velocità ed accelerazione si ottengono quindi ripetendo l’operazione di derivazione rispetto al tempo. Forza, massa, spazio e tempo sono grandezze intimamente correlate: l’accelerazione si ottiene come relazione tra spazio e tempo e la forza come prodotto tra massa ed accelerazione.

Teniamo a mente questi elementi, sono necessari per parlare della conservazione delle grandezze fisiche. Ma, prima, dobbiamo aggiungere un altro oggetto nella nostra borsa del matematico: la quantità di moto.