La conservazione della quantità di moto

La quantità di moto, di cui abbiamo parlato in un post precedente, ha una proprietà importantissima in natura: è una delle grandezze fisiche che si conserva, in un sistema chiuso (cioè che non riceve forze dall’esterno). Non è difficile convincersene, usiamo il concetto di conservazione che abbiamo introdotto la volta scorsa. Calcoliamo la variazione della quantità di moto in un sistema chiuso (abbiamo detto essere cioé la sua derivata temporale).

Il primo passaggio è semplice: non facciamo altro che sostituire l’espressione della  quantità di moto:

dp / dt = d(mv)/dt

In meccanica classica la massa del corpo non varia mai rispetto al tempo, mentre a variare è solamente la velocità, quindi:

dp / dt = d(mv)/dt = m dv/dt

Perché possiamo portare fuori m dalla variazione di mv ? E’ semplice: la variazione è pari alla differenza dei valori in due momenti arbitrari 1 e 2, ma siccome la massa è costante possiamo fattorizzarla:

d(mv) = mv2 – mv1 = m (v2-v1) = m dv

Abbiamo ottenuto, quindi, un risultato interessante sulla variazione della quantità di moto:

dp / dt = m dv/dt

non vi ricorda qualcosa ? La quantità dv/dt è pari all’accelerazione ! Ma, allora:

dp / dt = ma

ed ma è l’espressione della forza ! Ecco uno dei significati della quantità di moto: è quella quantità la cui variazione nel tempo è pari alla forza scambiata da un corpo. In effetti tutto quadra: nel post precedente abbiamo visto che se diamo un piccolo impulso ad un corpo questo varia la sua velocità.

Ma, a noi interessa un’altra cosa, e cioè stabilire se la quantità di moto totale di un sistema chiuso si conserva o no. Come si fa ? Ne sommiamo le variazioni, se la somma ottenuta è nulla, allora abbiamo vinto.

Torniamo all’esempio dei tre astronauti che si spingono, della volta scorsa e calcoliamo le variazioni di quantità di moto di tutti e 3:

dp1 / dt = F1
dp2 / dt = F2
dp2 / dt = F3

che, per quanto abbiamo visto, è pari alla forza scambiata da ciascuno. Sappiamo già che la somma delle forze interne di un sistema chiuso è nulla e, quindi:

dp1 / dt + dp2 / dt + dp2 / dt = F1 + F2 + F3 = 0

E’ l’espressione matematica della quantità di moto totale, quando non varia del tempo. Questo importante risultato va sotto il nome di Legge della Conservazione della Quantità di Moto e consente di fare miracoli, nel mondo reale, limitati solo dalla fantasia umana.

Ne riparleremo.