Giuseppe Peano e i numeri naturali

Nel post precedente abbiamo introdotto gli insiemi infiniti e visto che non è possibile applicare i criteri che usiamo normalmente per trattare situazioni che coinvolgono un numero finito di elementi.

Abbiamo visto, ad esempio, che se prendiamo un sottoinsieme finito dei numeri naturali e ne estraiamo i soli numeri pari, il numero di elementi contenuto nel sottoinsieme finito dei numeri pari è esattamente la metà dell’insieme originale. Saremmo quindi portati a dire che i numeri pari sono in quantità inferiore dei numeri interi, ma sappiamo che non è così, perché gli insiemi infiniti richiedono strumenti particolari per essere modellati correttamente.

Quando abbiamo dimostrato che i numeri pari sono esattamente tanti quanti i dispari, esattamente quanti i numeri naturali, abbiamo usato un processo di enumerazione empirico di cui non abbiamo mai dato una definizione formale. Abbiamo detto che un insieme che conta tanti elementi quanti sono i numeri naturali è detto enumerabile. Oggi  definiamo in modo formale il concetto di insieme dei numeri naturali e introduciamo uno strumento essenziale per trattare gli insiemi infiniti enumerabili. La domanda chiave è: cos’è un numero naturale ?

A rispondere per primo in modo formalmente ineccepibile fu il brillante matematico cuneese vissuto a cavallo tra l’800 e il ‘900, Giuseppe Peano. A Peano dobbiamo importanti risultati nell’analisi matematica e in un campo assolutamente inedito per l’epoca, quello della linguistica. Peano fu il primo ad ipotizzare la costruzione di una interlingua basata su una versione semplificata del latino, una intuizione cruciale che si rivelerà un embrione preziosissimo per la definizione dei linguaggi formali che, oggi, consentono di programmare i calcolatori moderni.

Gli Assiomi di Peano definiscono in modo formale i numeri naturali:

I. I naturali contengono un elemento, unico, detto zero.
II. Esiste una funzione successore che prende un numero naturale e restituisce un numero naturale.
III. La funzione successore è iniettiva.
IV. Non esiste alcun elemento nei naturali il cui successore è lo zero.

a questi si aggiunge un quinto assioma, il Principio di Induzione, uno strumento fondamentale per il matematico, a cui dedicheremo un post a parte.

Ma come è possibile costruire l’insieme dei numeri naturali a partire da questi quattro assiomi ? Lo vediamo domani …