Impariamo a contare

Nel post scorso abbiamo introdotto quattro dei cinque Assiomi di Peano, siamo rimasti però in sospeso sul come sia possibile, da questi, costruire l’insieme dei numeri naturali per come lo conosciamo noi, cioè la serie infinita:

0, 1, 2, 3, 4, 5, ….

I quattro principi consentono di costruire l’intero insieme infinito enumerabile dei numeri naturali attraverso un approccio formale, del tutto analogo al nostro contare, esattamente come lo abbiamo incontrato da bambini.

Il primo assioma assicura che esiste un numero iniziale da cui iniziare a costruire i naturali. Questo numero è lo zero ed è estremamente particolare perché costituisce il nostro punto di inizio da cui iniziare a contare. Che lo zero appartenga o no ai numeri naturali è una scelta, cioé frutto di una pura convenzione. Abbiamo già parlato di Bertrand Russell e non ci sono migliori parole di quelle usate dall’illustre matematico, filosofo e pensatore inglese in Introduzione alla filosofia matematica per descrivere il problema dell’appartenenza dello zero ai numeri naturali:

“Devono infatti essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di fagiani ed un paio di giorni sono entrambi espressioni del numero 2; il grado di astrazione che questo comporta non è certo lieve. (…) Quanto allo 0, è una scoperta recentissima; i Greci ed i Romani non avevano questa cifra“.

(in inglese “digit” significa sia “cifra” che “dito”).

Il secondo assioma ci dice che è definita una funzione (la chiamiamo succ) che prende un numero qualsiasi e ci consente di determinare qual’è il numero immediatamente successivo: ad esempio succ(0) = 1. Questa funzione è necessaria proprio per “snocciolare” i numeri naturali mentre li contiamo. E’ la funzione successore che ci restituisce il numero successivo, a partire da qualsiasi numero naturale.

Il terzo assioma assicura che due numeri naturali non possono avere lo stesso successore. Abbiamo già parlato del concetto di funzione iniettiva, un modo formale di dire che se due elementi sono diversi, allora anche la funzione applicata su di essi darà due valori diversi, cioé:

x <> y => succ(x) <> succ(y)

se x è diverso da y, allora il successore di x è diverso dal successore di y. Questa condizione assicura che esiste uno ed un solo numero che generi come successore un altro, essenziale per procedere “in fila” nella costruzione dei numeri naturali, senza mai ritornare ad un numero già costruito in precedenza.

Infine, il quarto assioma, che assicura che nessun elemento precede lo zero.

Nulla di complicato, no ? Questi quattro assiomi postulano, quindi, che esiste un numero da cui iniziare a contare (lo zero), che è possibile trovare il numero successivo di qualsiasi numero naturale, che non si può ritrovare due volte lo stesso successore e che nessun numero precede lo zero.

Abbiamo già parlato dei grafi, ne usiamo uno per riassumere velocemente cosa si ottiene applicando i quattro assiomi di Peano:

Li riconoscete ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 …. Signore e signori, ecco a voi l’insieme dei numeri naturali !

E il quinto assioma ? A domani …

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