Proseguiamo questo breve ciclo di articoli sugli Assiomi di Peano e sul Principio di Induzione Matematica con una dimostrazione più articolata. Abbiamo già raccontato del piccolo Karl Friedrich Gauss e della sua geniale dimostrazione, si dice a soli otto anni, della formula per calcolare la somma dei primi numeri naturali.
Gauss dimostrò, con un procedimento del tutto empirico, che la somma dei primi numeri naturali è:
S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n+1)/2
La nostra “borsa del matematico” è ormai abbastanza ben fornita di strumenti che ci consentono di verificare che la formula di Gauss è corretta per n arbitrario. In particolare, abbiamo visto che il principio di induzione è uno strumento essenziale perché consente di dimostrare, con un numero finito di passaggi, proprietà che coinvolgono insiemi infiniti.
Per verificare la formula con n arbitrario, dobbiamo dimostrare che:
Se
S(1) è vera (passo base dell’induzione)
e
supponendo che S(n) sia vera (ipotesi induttiva), allora S(n+1) è vera
allora
S(n) è vera per ogni n appartenente all’insieme dei numeri naturali.
Dimostrazione del passo base:
S(1) = 1(1+1)/2 = 1
la somma del primo numero naturale è 1 e si ottiene semplicemente sostituendo 1 ad n nella formula di S(n).
Ipotesi induttiva e dimostrazione:
Ora, supponiamo vera la S(n) = n(n+1), dobbiamo ottenere la stessa formula per n+1, ovvero S(n+1). Ma sappiamo che la somma dei primi n+1 naturali è pari alla somma dei primi n più l’n+1mo numero naturale, cioé:
S(n+1) = S(n) + (n+1)
Per ipotesi induttiva, stiamo supponendo che S(n) = n(n+1)/2, sostituiamo:
S(n+1) = S(n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)
fattorizziamo per n+1
S(n+1) = S(n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2+1)
e calcoliamo il minimo comun denominatore del secondo termine:
S(n+1) = S(n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2
Ma quest’ultima espressione si ottiene proprio sostituendo n+1 ad n nell’ipotesi induttiva, quindi – per il principio di induzione – l’ipotesi è confermata.
Gauss aveva ragione, ma come dubitarne ?
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