Il mistero dei numeri primi

Riprendiamo l’argomento dei numeri primi per raccontare, stavolta, non più cosa sappiamo di questo affascinante sottoinsieme dei numeri naturali ma ciò che è ancora sconosciuto. Eh già, perché dei numeri primi restano aperti tali e tanti misteri su cui l’umanità ha ancora parecchio da lavorare.

Sappiamo che un numero o è primo o è composto, è il teorema fondamentale dell’aritmetica. Sappiamo, e fu Euclide a dimostrarlo, che i numeri primi sono infiniti. Sappiamo ricavare, grazie al Crivello di Eratostene, i numeri primi minori o uguali di un qualsiasi intero N in un numero finito di passaggi.

Ed è ancora troppo poco. Uno dei misteri ancora aperti è la distribuzione dei numeri primi. Immaginate l’asse dei numeri naturali e di disegnare una riga a penna in corrispondenza di un naturale primo. All’inizio le righe sono sempre più dense, cioé ci sono più numeri primi verso la parte bassa dell’insieme dei numeri naturali, per poi diradarsi sempre di più verso l’infinito. Ma se osserviamo l’asse dei naturali in una regione, un intervallo, qualsiasi osserviamo che i punti sono distribuiti in modo assolutamente irregolare. La distribuzione dei numeri primi è, per quanto ne sappiamo oggi, casuale.

Anche per N molto grande, i primi si addensano “improvvisamente”, tanto da formare misteriosamente coppie di numeri primi separati da un solo numero naturale. Sono i numeri primi gemelli, di cui abbiamo già parlato. Non sappiamo dire ancora se esistono o no infiniti numeri primi gemelli. Questa è una congettura, cioé una ipotesi “forte” di cui non siamo ancora in grado di fornire una dimostrazione.

La distribuzione dei numeri primi è un mistero dall’alba dell’umanità. Gauss e Legendre, gia nel ‘700, hanno ipotizzato l’esistenza di una funzione, pi greco,che approssima il numero di numeri primi contenuti nell’intervallo dei primi X naturali, questa funzione vale X diviso il logaritmo naturale di X:

Teorema dei Numeri Primi

Pensate, una dimostrazione semplice di questo teorema è stata scoperta solamente nel 1949 ad opera di due matematici, Selberg e Erdos, l’uno norvegese e l’altro ungherese. E’ una approssimazione che, negli anni, è stata applicata per investigare la natura dei numeri primi che appare ancora imperscrutabile. Le congetture sui numeri primi sono innumerevoli, come ad esempio la Congettura di Goldbach, che ipotizza come qualsiasi numero naturale pari maggiore di 2 sia ottenibile per somma di due numeri primi.
Ovviamente, esiste anche una congettura analoga per i numeri dispari, che sarebbero ottenibili come differenza di numeri primi.

E, quanto abbiamo appena introdotto oggi, non è che la punta dell’iceberg dei misteri sui numeri primi, che rappresentano una sfida ancora aperta per l’intero genere umano. Una sfida con un premio in denaro consistente: il primo che sarà in grado di trovare la funzione che calcola l’ennsimo numero primo, sarà in grado di decodificare i conti cifrati di tutte le banche del pianeta.

Una trama non male per un film d’azione, e meno male che la matematica è noiosa …