Lo zero è un numero naturale ? (parte 1)

Spesso, in scienza, le porte per le grandi scoperte ed innovazioni si nascondono dietro fatti dati per scontati o trascurabili. Lo abbiamo visto con le rette parallele e la storia del quinto posulato di Euclide e in diversi altri contesti, quando parlammo di Russell e del Dilemma del Barbiere.

Con Peano e la definizione formale dei numeri interi, il primo assioma:

I. I naturali contengono un elemento, unico, detto zero.

è stato introdotto senza molti commenti. Eppure, dietro la scelta di Peano si nasconde una vicenda che affonda le radici nei millenni della storia umana. L’origine dei numeri naturali è indubbiamente dovuta alla necessità di assegnare ad un insieme di oggetti un simbolo che ne definisca la quantità. Questa operazione di astrazione è stata  sicuramente non banale e testimonia il nostro alto grado di civiltà. Commentando il primo postulato, abbiamo già discusso della brillante osservazione di Bertrand Russell, in Introduzione alla filosofia matematica :

“Devono infatti essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di fagiani ed un paio di giorni sono entrambi espressioni del numero 2; il grado di astrazione che questo comporta non è certo lieve. (…) Quanto allo 0, è una scoperta recentissima; i Greci ed i Romani non avevano questa cifra“.

è una battuta molto raffinata che si basa sull’ambiguità semantica del termine inglese “digit”, che significa sia “cifra” che “dito”. Il punto cruciale è che Peano compie una scelta precisa ma assolutamente opinabile, esattamente come il quinto postulato di euclide. Nulla vieterebbe, infatti, di usare il numero 1 come primo elemento dei naturali ed applicare la funzione successore come sempre.

Ma insomma, lo zero appartiene o no ai numeri naturali ? Tanto il decidere per l’inclusione quanto per l’esclusione conduce a problemi concettuali non banali. Ciascuna scelta porta a problemi di incoerenza (nel caso dell’inclusione) o di incompletezza (nel caso dell’esclusione) praticamente irrisolvibili.

E quindi ? A Lunedì !