Nel post scorso ci siamo occupati del primo assioma di Peano, apparentemente innocuo e privo di grandi sofisticatezze e, invece, foriero di difficoltà non trascurabili.
Abbiamo visto che lo zero è sicuramente un numero speciale perché, tornando al gioco di parole di Bertrand Russell, ha la particolarità di non corrispondere ad alcun “dito” e rappresenta la “quantità di cose in un insieme di oggetti che non esiste”. Un gran problema, perché la definizione dei numeri naturali con lo zero escluso è incompleta senza un simbolo che indichi l’assenza di oggetti in un insieme. Non saremmo infatti in grado di descrivere gli eventi del tipo “è finita la benzina” o “non ci sono più biscotti in dispensa”. Viceversa, l’inclusione dello zero nei numeri naturali rompe la coerenza dell’insieme dei naturali basata sull’ipotesi che ogni numero indica presenza di oggetti. Lo zero sarebbe quindi l’unico numero legato al nulla, al vuoto, all’assenza.
Con Cantor e la teoria degli insiemi, abbiamo visto che ogni insieme è naturalmente dotato di un isomorfismo che consente di contarne il numero degli elementi costituenti, la cardinalità. Lo zero è la cardinalità dell’insieme vuoto, un’astrazione niente male.
Quando si ha a che fare con l’asserzione di una negazione, come ad esempio postulare la non-esistenza o l’esistenza di un numero collegato che misura la cardinalità dell’insieme vuoto si inizia ad intravedere l’ingresso di un tunnel la cui luce, in fondo, porta ad una serie di risultati di grandissimo interesse scientifico.
E quindi ? Adottando il modello inclusivo si ottiene un sistema di numerazione completo, in grado di rappresentare anche il nulla ma, includendo lo zero, siamo costretti a trattarlo come una eccezione in diverse occasioni (come ad esempio nella costruzione dei numeri razionali, quando siamo obbligati ad escludere lo zero dal denominatore). Al contrario, adottando il modello che esclude le incoerenze si perde completamente la possibilità di rappresentare diversi fenomeni, come la misura dell’insieme vuoto.
Non è la prima volta che ci imbattiamo nel problema della coerenza e della completezza, quando abbiamo parlato del Dilemma del Barbiere, abbiamo incontrato una classe di problemi detti indecidibili. Sono problemi molto particolari che portano a complicazioni logiche singolari, risolte solamente nel 1900. Decidere l’appartenenza dello zero ai numeri naturali porta ad una complicazione logica molto simile: se scegliamo la completezza siamo costretti all’incoerenza e se preferiamo la coerenza siamo condannati all’incompletezza. Sembra un sofismo, eppure è un fatto scientifico che ha reso famoso uno dei più grandi matematici del secolo scorso: Kurt Godel.
Tenete a mente quindi le parole coerenza e completezza: promettono bene.
