Kurt Godel e il Teorema di Incompletezza

Nei post precedenti abbiamo affrontato il tema della impossibilità di misurare con precisione gli eventi fisici, il Principio di Indeterminazione di Heisenberg, e discusso a più riprese sulla difficoltà intrinseca dei sistemi formali, obbligati ad oscillare tra completezza e coerenza.

Come tutti i grandi temi di scienza, il problema della completezza e della coerenza dei sistemi formali ha impegnato l’umanità per un paio di millenni. Fu il greco Epimenide a rendersi conto per primo, nientemeno che nel VI secolo a.C. della possibilità di formulare espressioni indecidibili, con il Paradosso del Mentitore

Io sono Cretese, tutti i Cretesi sono bugiardi

2500 anni dopo, all’inizio del secolo scorso, Bertrand Russell ne riformulò una rappresentazione formale con il Paradosso del Barbiere, ce ne siamo già occupati. Il problema generale che sta dietro a questi paradossi è nell’ammissibilità della negazione, come abbiamo già visto parlando del numero zero. Incorporare la negazione in un sistema, anche non formale come il linguaggio naturale, porta a seri problemi di coerenza:

Questa frase è falsa.

Abbiamo già messo il prezioso strumento della indecidibilità nel nostro corredo della borsa del matematico; se supponiamo che la frase sia vera, allora è falso che è vera e quindi otteniamo che è falsa. Se, viceversa, supponiamo che sia falsa allora è falso che è falsa e quindi è vera. Una situazione niente male in cui deduciamo sistematicamente il contrario della nostra ipotesi.

L’umanità ha dovuto attendere fino al 1931, quando ad occuparsi e a risolvere questa classe di problemi arrivò un giovane matematico austriaco: Kurt Godel. Fu proprio seguendo una conferenza di Hilbert e Russell che, alla fine degli anni Venti, Godel iniziò ad interessarsi dell’incompletezza dei sistemi formali. La figura di Godel aderisce perfettamente allo stereotipo del matematico geniale, ma introverso e cagionevole di salute che, come vuole la leggenda, è destinato a stupire l’umanità:

“Per ogni sistema formale di regole ed assiomi (riconducibile ai numeri interi) è possibile arrivare a proposizioni indecidibili, usando gli assiomi dello stesso sistema formale“

E’ una delle formulazioni del celebre Teorema di Incompletezza di Godel, che rese famoso il brillante matematico austriaco e lo consegnò all’olimpo della scienza. Il Teorema di Godel, infatti, postula irrimediabilmente l’impossibilità di costruire sistemi formali che siano contemporaneamente completi, cioè capaci di descrivere tutti i fenomeni, e coerenti cioè che non entrino in contraddizione attraverso i propri assiomi.

Una rivoluzione: da un lato Heisenberg postula l’impossibilità di misurare con precisione arbitraria gli eventi fisici e dall’altro Godel demolisce la possibilità di costruirne sistemi di rappresentazione formale. E’ la fine del concetto di Assoluto, con tutte le conseguenze filosofiche del caso. Godel emigrò negli stati uniti e conobbe colonne portanti della scienza come Von Neumann ed Einstein, di cui divenne amico intimo. Godel aderì tristemente alla figura del genio tormentato e, dopo innumerevoli esaurimenti nervosi, nel 1978 morì dopo un lungo digiuno, protratto forzatamente per la paura di essere avvelenato.

Foto: Wikipedia

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4 risposte a Kurt Godel e il Teorema di Incompletezza

  1. corrado morozzo scrive:

    Peccato però che il teorema contraddica se stesso, perché il teorema, utilizzando un determinato formalismo si propone di “dimostrare” l’impossibilità che un qualsiasi sistema formale (e quindi anche lo stesso formalismo utilizzato dal teorema) di costruire una dimostrazione completa.

    Anche se la dimostrazione è contraddittoria la grandezza di Gödel è stata di chiudere definitivamente la questione della effettiva indimostrabilità di un formalismo utilizzando dei ragionamenti formali (ovvero logici/matematici) decretando (forse anche suo malgrado) la morte del determinismo.

    Nel suo secondo teorema, infatti, arriva alla conclusione che è possibile validare un formalismo solo se si utilizza un formalismo di ordine superiore creando, con una ricorsività senza fine, l’impossibilità di arrivare ad una formale validazione.

    È interessante notare che il metodo matematico con cui Gödel arriva alla sua pseudo dimostrazione (il suo punto G) non è molto diverso dal metodo utilizzato dal suo amico Einstein, anche lui nell’enunciare la teoria della relatività non avrebbe dovuto poterla “fissare o riferire” ad una costante. (la velocità della luce).

    La corretta teoria della relatività, di fatto, non potrebbe mai “dimostrare” la propria relatività, tutt’al più, come in effetti ha fatto Einstein, riconoscendo agli elementi della natura una situazione si assoluta relatività, permette di individuare delle correlazioni tra gli elementi (e le forze che agivano sugli stessi) che le basi teoriche precedenti (deterministiche) non permettevano di ipotizzare o evidenziare.

    Le contraddizioni insite nei due teoremi (così come le tante contraddizioni presenti nelle teorie scientifiche) non tolgono nulla alla genialità di Gödel o Einstein, una genialità che ha permesso alla scienza di chiudere una lunga fase deterministica mentre le contraddizioni insite nei loro teoremi stanno diventando il terreno sul quale si sta muovendo la scienza moderna.

    corrado morozzo

    • lidimatematici scrive:

      Grazie Corrado,
      la relatività di Einstein, in effetti ha un nome infelice, visto che stabilisce un nuovo metro che è il “tempo proprio”. Ne parleremo nel blog piú in la.
      Godel ha asserito che è possibile arrivare a proposizioni indecidibili ma chiaramente solo in casi particolari, non tutte le proposizioni sono indecidibili, tra cui lo stesso enunciato di Godel.
      In ogni caso, e veramente suo malgrado, Godel ha demolito il determinismo.

  2. Giorgio Fabretti scrive:

    Più che morte determinismo – parola infelice – è evaporazione platonismo, razionalismo, idealismo, formalismo, ecc. , come forme primitive del pensiero in senso darwiniano. Resta la biologia, a cui non si comprende perché i Principia Matematica non si siano voluti sottomettere, prima di esservi costretti nel secolo biotecnologico. Con questo commento infine si comprendono che tutti i sofismi e paradossi servono solo a capire la stupidità funzionale della macchinetta del pensiero umano. Questo è un effetto speciale, illusorio, bestiale, perché selezionato per fini fisiologici di sopravvivenza e non di verità formale, che appartiene al mondo onanistico di molte specie viventi. Questo commento, se meditato formalmente o anche solo empiricamente, è il solo che dia la soluzione definitiva alle fondamenta (biologiche, le sole) della matematica. Roma 10 luglio 2016. Scritto dal Prof. Giorgio Fabretti, scienziato antropologo neodarwiniano, ed epistemologo coerente senza illusioni di completezza ormai persino dai logici definitivamente negate. La coerenza logica oscilla tra schemi neurali cognitivi genetici, e funzionalità di tipo biologico selettive evolutive.

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