Le meraviglie della Meccanica Quantistica – III

Nel secondo post dedicato alla meccanica quantistica, abbiamo introdotto i 5 postulati cardine del nuovo modello matematico, probabilistico, per la rappresentazione della realtà subatomica.

La formulazione di Schroedinger, Dirac e Heisenberg è decisamente rivoluzionaria, con una caratterizzazione quasi New Age, diremmo oggi: la realtà non è misurabile direttamente, piuttosto l’operazione di osservazione è una trasformazione sulla realtà stessa, rappresentata da un operatore matematico detto osservabile. Lo stato del sistema è rappresentato da un vettore di lunghezza unitaria (ne abbiamo già parlato),
le misure restituite dal processo di osservazione sono invece rappresentate da autovalori.

La matematica della meccanica quantistica è complessa, nel vero senso del termine perché si poggia consistentemente sui numeri immaginari, ma ciò non toglie che se ne possano ugualmente presentare i risultati ed il loro significato fisico, di portata molto più abbordabile. Ne diamo brevemente un accenno che serva al lettore interessato come spunto per un approfondimento personale. In calcolo matriciale, la relazione tra autovalori, autovettori ed operatore lineare è la seguente:

L v = a v

dove L è un operatore lineare, v è un vettore, l’autovettore appunto, ed a è un coefficiente di amplificazione, l’autovalore. Non è ovviamente questa la sede per entrare in dettaglio dell’algebra lineare, ma dovete pensare all’operatore lineare L come ad una funzione generica che trasforma un vettore in un altro, cambiandone intensità, direzione e verso. Ma ciò non avviene per tutti i vettori possibili, esiste un insieme “speciale” di vettori detti autovettori per cui l’operatore L opera solamente una amplificazione o attenuazione del modulo.

La stessa operazione si può compiere con le funzioni, dove al posto dell’operatore L viene applicata una serie di operazioni (funzionale) ad una funzione legata in qualche modo alla probabilità di trovare l’oggetto subatomico in un certo punto nel tempo e nello spazio, la funzione d’onda. Il funzionale L svolge, anche in questo caso, il ruolo di osservabile ed i suoi autovalori rappresentano le misure dell’osservazione condotta. Parallelamente, gli autovettori sono costituiti da altrettante funzioni, dette autofunzioni. Attraverso una opportuna composizione dei vettori di stato, come quella che abbiamo visto nel post precedente, è possibile definire la probabilità legata alle misure dell’osservabile.

Funzione d’Onda di un elettrone diffratto

Dettagli matematici a parte, questa impostazione stravolge completamente la visione classica che, fino ad allora – e stiamo parlando degli anni venti – aveva dominato l’impostazione scientifica. Di punto in bianco, l’umanità si è resa conto che non ha più alcun senso riferirsi alle grandezze fisiche (posizione, quantità di moto) come determinate da un solo numero perché la loro migliore rappresentazione è data da una distribuzione di probabilità.

Torniamo all’esempio del polarizzatore. Al di là del calcolo matematico, la volta scorsa abbiamo determinato che, secondo il modello quantistico, le due affermazioni:

– la probabilità che un fotone passi per un polarizzatore verticale ed uno orizzontale, in sequenza, è zero.

– la probabilità che un fotone passi per un polarizzatore orizzontale ed uno diagonale a 45°, in sequenza, è pari al 50%.

portano a risultati già di per sé interessanti. Sono due esperimenti relativamente facili da condurre, basta reperire tre filtri polarizzatori o, alternativamente, due filtri ed usare il monitor LCD del PC (gli LCD emettono luce polarizzata).

Il punto chiave dell’esperimento che stiamo per condurre è che non esiste un analogo in meccanica classica per il comportamento dei fotoni. Un parallelo per un fotone potrebbe essere una freccia, dotata di due ali in coda. L’analogo di un polarizzatore potrebbe essere una trama metallica fitta. Scoccata da un abile arciere, la freccia potrebbe essere scagliata in modo tale da far passare le ali esattamente lungo le fenditure della griglia. L’analogia con il polarizzatore regge perché, dopo la griglia, sarebbe possibile trovare solamente frecce con le ali disposte parallele al terreno. Se inseriamo però una seconda griglia, ortogonale alla prima, non c’è alcun modo per far passare la freccia attraverso le due griglie contemporaneamente.

Un fotone polarizzato orizzontalmente non passa per un polarizzatore verticale

Ecco, la frase:

“la freccia non passa per la seconda griglia”

ha come analogo in meccanica quantistica:

“la probabilità che la freccia passi per la seconda griglia è zero“.

A tutti gli effetti, le due descrizioni descrivono lo stesso comportamento. Lo dimostriamo prendendo due filtri polarizzatori, provate prima ad allinearli in modo che i piani di polarizzazione siano ortogonali:

Due filtri ortogonali bloccano il passaggio di fotoni

sappiamo che, dai nostri calcoli, la probabilità è pari a zero e, infatti, non passa luce.

Ruotate ora il secondo polarizzatore circa di 45°, noterete più o meno un dimezzamento della luce che attraversa entrambi i filtri. Questo fenomeno corrisponde all’asserzione quantistica “la probabilità che un fotone passi, in sequenza, per un polarizzatore orizzontale e per uno diagonale è del 50%“:

Per un polarizzatore orizzontale ed uno diagonale passa il 50% dei fotoni.

Fin qui, sembrerebbe che il paragone con la meccanica classica possa ancora reggere. E’ ragionevole pensare che il nostro arciere possa sbagliare e che qualche freccia sia scagliata non proprio parallela al terreno: non è così. Al livello subatomico ciò che accade, secondo l’interpretazione quantistica, è descritto nel quarto postulato che abbiamo visto la volta scorsa: gli stati generici del sistema sono rappresentati infatti come combinazione lineare dei due stati rappresentati dagli autovettori di base. Nel caso specifico, i due stati di base sono la polarizzazione orizzontale e quella verticale. La polarizzazione diagonale è, a tutti gli effetti, uno stato di sovrapposizione dei vettori verticale e orizzontale, rappresentato in formula proprio dalla semisomma dei due autovettori.

Un concetto davvero difficile da digerire, per noi abitanti del mondo macroscopico: la polarizzazione diagonale è contemporaneamente sia verticale che orizzontale. Non è un solamente un “terzo stato” a sé, ma un vero e proprio mix di metà dell’una e metà dell’altra. Per tornare al nostro arciere, l’unica analogia con un comportamento del genere è che questo tiri, contemporaneamente, una freccia con le ali in verticale ed una in orizzontale e che queste appaiano in volo come una sola freccia con le ali in diagonale. In meccanica quantistica è proprio il concetto di diagonale ad essere diverso e la parola diagonale è addirittura fuorviante: potremmo dire orizzoncale, vertontale ma, in realtà, la migliore descrizione dello stato quantistico di polarizzazione diagonale è un coro a due voci che reciti, contemporaneamente, le due parole orizzontale e verticale.

Questa non è che una delle stranezze del mondo quantistico, eppure è pienamente supportata dalle evidenze sperimentali. Torniamo al nostro arciere ed aggiungiamo una terza griglia tra le due polarizzate verticalmente ed orizzontalmente. Va da sé che se la freccia non passava prima con due griglie, non passerà tantomeno ora, con una griglia in più nel mezzo. Ragionando con mentalità classica è una previsione più che ragionevole.

Ma, ricordate, le previsioni che abbiamo ricavato dai nostri calcoli hanno conseguenze ben più sottili. Applichiamole al caso di tre filtri polarizzatori in sequenza, uno orizzontale, poi uno diagonale e poi un terzo verticale:

– la probabilità che un fotone passi per il primo polarizzatore (orizzontale) e per il secondo (diagonale) è del 50%.
– la probabilità che un fotone passi per il secondo polarizzatore (diagonale) e per il terzo (verticale) è, di nuovo, del 50%.

Combinando le due probabilità, si ottiene che la probabilità che il fotone passi per il primo (orizzontale), poi per il secondo (diagonale) e infine per il terzo (verticale) è del 50% x 50 % = 25 %. Cioé abbiamo ottenuto una combinazione di polarizzatori che contraddice l’esperimento appena fatto. Non resta che verificare con in nostri stessi occhi, inserendo un terzo polarizzatore tra i due orizzontali e verticali:

Paradosso: aggiungendo un polarizzatore tra due ortogonali, la luce passa nuovamente

Et voilà, con 3 filtri passa più luce che con due. Abbiamo ottenuto due risultati sperimentali diversi, per un polarizzatore orizzontale ed uno verticale non passa luce, mentre se aggiungiamo un terzo polarizzatore, cioé filtriamo ulteriormente, la luce torna a passare. Quale delle due conclusioni è giusta ?

Ma tutte e due, ovviamente ! Siamo o non siamo nel meraviglioso mondo quantistico ? Alla prossima settimana.

PODCAST008