Il Paradosso del Compleanno (parte 2)

Con il post precedente siamo rimasti al calcolo della probablità dell’evento:

A2 = {due persone non sono nate lo stesso giorno}

Supponiamo per semplicità che tutti i giorni di nascita siano equiprobabili e che l’anno non sia bisestile. Il numero di casi favorevoli, cioé di giorni dell’anno in cui la seconda persona può nascere in un giorno diverso da quello della prima è 364. Se, ad esempio, la prima persona fosse nata il primo gennaio, ci sono altri 364 giorni, dal due gennaio in poi, dove collocare il giorno di nascita della seconda persona.

Quindi, la soluzione del quesito del post scorso è:

P(A2) = casi favorevoli / casi possibili = 364 / 365

Aggiungiamo ora una persona e definiamo questo evento:

A3 = {tre persone non sono nate lo stesso giorno}

e calcoliamo di nuovo la probabilità che la terza persona non sia nata lo stesso giorno dei primi due. Stesso ragionamento: i casi favorevoli diventano 363, perché due giorni di nascita sono già occupati dai primi due e sono diversi per ipotesi:

P(A3) = 363 / 365

Passando ora a 4, 5, 6 o un numero generico di persone, abbiamo quindi tanti eventi che devono verificarsi contemporaneamente e, per quanto visto nel post precedente  la probabilità congiunta di tutti questi eventi è il prodotto delle probablità dei singoli eventi. Per l’evento generico A

A = {tutte le persone non sono nate lo stesso giorno}

P(A) =  P(A2 e A3 e …) = P(A2) P(A3) P(A4) … = 364/365 x 363/365 x 362/365 x …

Ma a noi interessa l’evento complementare, cioé che le persone siano nate nello stesso giorno, e cioé che non accada A, quindi che almeno due persone siano nate lo stesso giorno:

P({non accade A}) = 1 – P(A)

che, come sappiamo è pari ad uno meno la probabilità dell’evento A. La probabilità che cerchiamo è data dalla formula:

P = 1 – 364/365 x 363/365 x 362/365 x …

Facciamo un grafico e vediamo che già con 23 persone la probabilità è pari al 51%, superando quindi testa o croce. Con 32 persone abbiamo il 75%, cioé ben tre probabilità su quattro. Ripetendo questo esperimento in un ristorante affollato o in un’aula di studenti con almeno 60 persone siamo praticamente certi di vincere, con un solido 99%. Non male scommettere su un evento con una sola probabilità su 100 di perdere, no ?

L’argomento è indubbiamente interessante e, come vedete, non richiede un bagaglio matematico complesso, ma solamente un processo formale e attento di valutazione delle combinazioni tra casi favorevoli e possibili.

Torneremo sull’argomento parlando della matematica combinatoria.