Dividere l’indivisibile: i numeri irrazionali (parte 1)

Abbiamo messo al sicuro nella nostra borsa del matematico diversi strumenti che ci consentono di affrontare problemi interessanti e dal notevole livello di astrazione. Sappiamo che gli insiemi di numeri possono essere di vari tipi: naturali (gli interi), relativi (interi col segno), razionali (frazioni ottenute dividendo due interi) ed i reali. Approfittiamo del nostro bagaglio per occuparci quindi dei numeri irrazionali.

Conosciamo la teoria degli insiemi, e sappiamo che gli insiemi di numeri sono disposti in gerarchia proprio perché ciascuno contiene numeri non contenuti negli insiemi precedenti. Abbiamo visto che il salto tra i numeri razionali ed i numeri reali sta in un certo particolarissimo insieme di numeri che non possono essere espressi in frazione e, per questo motivo, sono denominati irrazionali.

In questa piccola serie di post ne prendiamo uno per tutti, la radice di 2, e dimostriamo che non può essere ottenuto mediante una frazione. A scoprire che esistevano numeri impossibili da ottenere per frazione fu Ippaso di Metaponto nel quinto secolo a.C., discepolo di Pitagora. Ippaso tentò invano di rappresentare i numeri razionali mediante frazione, finché non capí che … era impossibile ! Pensate che Pitagora era convinto della perfezione assoluta dei numeri – allora si conoscevano gli interi – e si dice che, per questo, condannò Ippaso alla morte per annegamento. Solo uno dei tanti episodi di discredito delle figure di scienziato e delle loro scoperte, quando diventano troppo scomode.

Ippaso si rese conto del problema tentando di misurare la diagonale del quadrato in frazioni dell’unità di misura del lato. Era un compito impossibile: aveva scoperto le grandezze incommensurabili, ovvero impossibili da ricondurre a multipli di unità definite. Ippaso cercava di calcolare la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1. Questa lunghezza è impossibile da esprimere in frazione, ed è pari alla radice di 2, appunto. Fu la fine di Ippaso, ma anche della dottrina Pitagorica, secondo cui “tutto è numero” e con i numeri sarebbe stato possibile rappresentare ogni cosa, grazie alla loro intrinseca perfezione. Diversi assunti della dottrina pitagorica caddero in un solo colpo, sia in ambito matematico che geometrico. Insoma, un terremoto di cui ci occuperemo in un post successivo. Per ironia della sorte, il primo numero irrazionale della storia è anche detto costante pitagorica.

Immaginate quanti sforzi dovette fare Ippaso. Noi, invece, siamo molto più fortunati perché disponiamo dell’intera conoscenza del genere umano che ci ha preceduto e riusciamo a dimostrare l’irrazionalità di radice di 2 in pochi semplici passaggi: aprite intanto la vostra borsa del matematico ed prendete la produttoria e i numeri primi. Prima di procedere alla dimostrazione, dobbiamo forzatamente fare delle considerazioni generali, per cui è necessario padroneggiare i concetti di fattorizzazione e massimo comun divisore o MCD.

A Mercoledì.