Dividere l’indivisibile: i numeri irrazionali (parte 3)

Terminiamo con questo post la serie sull’irrazionalità di radice di 2. Abbiamo parlato della scoperta di Ippaso di Metaponto, il primo a capire che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di frazioni della misura del lato. I due numeri si dicono, per questo, incommensurabili.

Nel post precedente abbiamo ricapitolato due importanti proprietà della decomposizione in numeri primi, che ci consentono di dimostrare agevolmente che la radice di 2 è un numero irrazionale:

– due numeri mutuamente primi non hanno fattori in comune
– il quadrato di un numero ha come decomposizione i fattori del numero stesso, ripetuti due volte.

Vogliamo dimostrare che non esiste alcuna frazione, cioé coppia di numeri interi n ed m primi tra di loro, tali che il loro rapporto sia uguale a radice di 2, il che vale a dire che:

oppure, elevando al quadrato:

In questo post forniremo una dimostrazione non formale, ma che serve da esempio (se ne possono costruire molti altri) per sviluppare una visione “concreta” dei problemi relativi alla decomposizione in fattori: immaginiamo di collocare in un sacchetto i fattori che scompongono ciascun numero.

Sappiamo, per ipotesi, che n ed m sono primi tra di loro, cioé per ipotesi nella loro decomposizione nei sacchetti:

F(n) = {a1, a2, a3, …}

F(m) = {b1, b2, b3, …}

non figura alcun numero comune primo. Vale a dire che è impossibile trovare lo stesso numero primo sia nel primo che nel secondo sacchetto.

Ora, per quanto detto la volta scorsa, sappiamo anche che n ed m al quadrato hanno gli stessi fattori ripetuti semplicemente due volte, e cioé:

F(n^2) = {a1, a1, a2, a2, a3, a3 …}

F(m^2) = {b1, b1, b2, b2, b3, b3, …}

Ma se i due numeri sono mutuamente primi per ipotesi, vuol dire che non hanno alcun fattore in comune in generale né, tantomeno, in particolare il fattore 2. A maggior ragione, quindi, il fattore 2 non può apparire in entrambe i sacchetti in cui sono semplicemente stati collocati due volte gli stessi fattori.

E’ una dimostrazione qualitativa che indica le idee generali dietro alla dimostrazione più formale. In realtà, sappiamo che è vero un fatto ancor più restrittivo: il massimo comun divisore o MCD dei due numeri è 1, ovvero non è possibile reperire alcun sottoinsieme di numeri nei due sacchetti che abbiano lo stesso prodotto. Useremo questo fatto per fornire una dimostrazione formale basata sull’algoritmo di Euclide.

Ci torneremo su.

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