Durante uno dei pomeriggi divulgativi del progetto RistudiamoConVoi, ho avuto modo di ripassare con i ragazzi di secondo liceo il logaritmo. Ce ne siamo già occupati nel blog, e riassumiamo brevemente sia la definizione che le proprietà principali del logaritmo.
Il logaritmo è quel valore da dare all’esponente, data una base, per ottenere il numero cercato. Cioè se
allora il logaritmo in base a di x è y:
Abbiamo visto che le proprietà del logaritmo consentono di legare prodotti a somme o, divisioni a sottrazioni e potenze a moltiplicazioni. più formalmente:
Abbiamo visto, con Peano, che per costruire i numeri naturali è sufficiente lo zero e la funzione successore e che, grazie a questa proprietà, è possibile definire l’intera aritmetica e le funzioni matematiche più comuni: somme, sottrazioni, prodotti, divisione, potenze e, appunto, logaritmi.
Avevamo anche detto che, di tutte le proprietà dei logaritmi, in perfetta analogia con la tecnica induttiva di costruzione dei numeri naturali, è possibile definire tutte le proprietà dei logaritmi usando solamente la prima.
Non ne abbiamo mai dato una dimostrazione formale e … ad oltre un anno di distanza è ora di rimediare! Davvero basta la proprietà della somma dei logaritmi:
log a + log b = log ab
a dimostrare tutte le altre? Proprio così. La seconda proprietà recita (^ è l’operazione potenza):
log a^n = n log a
ma a^n=a . a . a ….. a, cioè a moltiplicato sé stesso n volte e, quindi:
log (a.a….a) = log a + log a + … + log a
n volte, appunto. E, quindi, possiamo usare la prima proprietà semplicemente applicandola n volte.
Ancora, la proprietà della differenza:
log a – log b = log a + log b^-1 = log a + log(1/b) = log a/b
si dimostra applicando prima la proprietà della potenza (che, a sua volta, si dimostra applicando la proprietà della somma) e, poi, nuovamente la proprietà della somma.
L’ultima proprietà segue direttamente dalla definizione di radice quadrata e, in realtà, non è altro che la proprietà della potenza che, di nuovo, si ottiene a sua volta applicando più volte la proprietà della somma.
Tutto ciò non è un caso: nei logaritmi come in tutta la matematica, basta applicare più volte, attraverso una combinazione opportuna, pochissime operazioni fondamentali (spesso una sola). Operazioni più complesse non sono altro che combinazioni di operazioni più semplice. E, messe tutte insieme, formano l’incredibile edificio della matematica.
Esattamente come avviene per le costruzioni Lego.
