Peregrinando nelle normali vicissitudini lavorative, mi sono trovato ad affrontare un tema con i colleghi che reputavo banale, e che invece necessita di un adeguato approfondimento. Il problema è questo: i dipendenti nell’arco della loro vita lavorativa hanno tipicamente accumulato un totale di giorni lavorativi in forma di ferie o permessi retribuiti. Questi permessi devono essere convertiti in ore.
Facile a dirsi, ma come si fa, tenendo conto che alcuni contratti sono da 40 ore settimanali su 5 giorni lavoritivi, altri su 6, altri in part-time e cosi via? Ne approfittiamo per dotare la nostra borsa del matematico di un nuovo strumento teorico, che ci tornerà utilissimo in un numero sterminato di applicazioni: le conversioni tra sistemi di numerazione.
Noi tutti, da piccoli, abbiamo imparato a contare, e lo abbiamo fatto usando dieci dita. Da qui il sistema decimale che, nella sua semplicità, ha rappresentato un vero e proprio avanzamento dell’umanità. Avanzamento che, in verità, dobbiamo agli arabi.
Ai nostri amici medioorientali dobbiamo infatti l’idea brillante di imparare a far di conto con cifre largamente superiori al 10, usando un numero di segni relativamente esiguo. L’idea è semplice, iniziamo a contare da 0 a 9:
0
1
2
…
9
e, quando arriviamo ad “esaurire le dita”, aggiungiamo una cifra:
10
…
99
proseguendo così fino a 99. Compreso lo zero, con questo semplice accorgimento possiamo contare fino a 100.
Ora, immaginate che a ciascuna unità corrisponda non il numero 1, ma 60. E’ il caso delle ore e dei minuti con cui misuriamo il nostro tempo, ma anche delle misure di angoli. Abbiamo 60 cifre a disposizione, non più 10: è il sistema sessagesimale.
E’ tutto esattamente come nel caso decimale, solo che in un’ora ci sono sessanta minuti e in un minuto sessanta secondi. Ma se un’ora sono sessanta minuti, un minuto è – ovviamente – pari ad un sessantesimo di ora, mezz’ora è pari alla metà di un’ora (60/2 = 30 minuti) e un quarto d’ora alla quarta parte dell’ora (60/4 = 15).
Nulla di più semplice, anche se c’è una trappola: come si calcola il passaggio tra i due sistemi di numerazione? Basta applicare le frazioni: mezz’ora è pari a 0.5 ore, quindi si applica questo coefficiente al numero totale di minuti in un’ora
mezz’ora = 0.5 x 1 ora = 0.5 x 60 minuti = 30 minuti
Questa tecnica di cambio di base si applica anche a sistemi di numerazione diversi, per esempio se un giorno lavorativo sono 8 ore mezza giornata lavorativa è pari a:
mezza giornata lavorativa = 0.5 x 8 ore = 4 ore
Banale, no? Facciamo qualche esempio pratico che mette insieme vari cambi si base, ma in situazioni un filino più complesse.
Esempio 1.
Un dipendente ha accumulato 28.5 giorni lavorativi di ferie, che devono essere convertiti in ore. Il dipendente lavora 40 ore a settimana ed ogni settimana lavora 5 giorni. Il numero di ore lavorate al giorno è dato da:
40 ore / 5 giorni = 8 ore/giorno
I 28.5 giorni lavorativi divengono quindi, in ore:
28.5 giorni x 8 ore/giorno = 228 ore
Esempio 2.
Alcuni contratti prevedono 6 giorni lavorativi a settimana, e non 5, mentre il totale di ore lavorato a settimana è sempre 40. Supponiamo sempre che le ferie cumulate siano pari a 28.5 giorni, la conversione diventa:
40 ore / 6 giorni = 6.6667 ore al giorno
dove la frazione 0.666667 corrisponde a 2/3, è un numero periodico. A quanti minuti corrisponde? Facilissimo:
2/3 x 1 ora = 2/3 x 60 minuti = 40 minuti
Il dipendente lavora, quindi, 6 ore e 40 minuti al giorno. Andiamo avanti con il calcolo del monte-ore totale:
6 ore e 40 minuti al giorno x 28.5 giorni = 6.66667 ore/giorno x 28.5 giorni = 190 ore
Si osservi come la conseguenza del cambio di base comporti una variazione significativa delle ore maturate. Il dipendente dell’esempio 1 matura 8 ore al giorno, mentre quello dell’esempio 2 solo 6 ore e 40 minuti!
Esempio 3.
Complichiamo ancora le cose aggiungendo il part-time. In regime di part time, il dipendente lavora i tre quarti delle ore settimanali, quindi non più 40, ma 30.
Quindi, sfruttiamo questa proporizione per calcolare il monte ore:
3/4 x 6 ore e 40 minuti al giorno = 3/4 x 6,66667 = 5 ore / giorno
Moltiplichiamo le ore maturate per i giorni residui:
5 ore / giorno x 28.5 giorni = 142.5 ore = 142 ore e 30 minuti
Un errore molto comune di chi è alle prime armi con la matematica è di convertire le 6 ore e 40 minuti in 6.4 ore (!) Zero virgola quattro ore non corrispondono a 40 minuti, ma a
4/10 di ora x 60 minuti = 24 minuti.
E’ un errore grave che si propaga a macchia d’olio in tutti i calcoli, non solo per il dipendente, ma anche per l’azienda. Se consideriamo infatti 6 e 40 minuti = 6.4, già nel calcolo delle ore lavorate giornaliere avremmo un errore grossolano:
3/4 x 6.4 = 4.8 ore al giorno (errore !)
cioé il lavoratore lavorerebbe solo 4.8 ore al giorno anziché 5! Ma a farne le spese è soprattutto il dipendente: ben 16 minuti al giorno.
