Ebbene si, era uno scherzo, un Pesce d’Aprile. Mi riferisco alla somma dei numeri naturali che, chiaramente, non può restituire un numero negativo. Ero rimasto incuriosito da un video che si era diffuso viralmente a gennaio scorso, proprio quello dei due ricercatori che si divertivano come matti a canzonare l’intero pianeta con una dimostrazione improbabile.
Eppure quadrava, non era così? Ma cosa c’era di sbagliato? Intanto andiamo agli indizi che avevo lasciato nell’articolo, per far capire che si trattasse di uno scherzo. I nomi dei professori Sherman Klump e Buddy Love: Sherman Klump era il professore impacciato del film di Jerry Lewis “Il professore Matto”, del 1966. Nel film, dal titolo originale “Nutty Professor”, altro indizio del pezzo, il prof. Klump si beveva un improbabile pozione che lo trasformava nell’implacabile sciupafemmine Buddy Love.
Se non una semplice conoscenza della matematica, qualche commento sulla pretesa perfezione del simbolo 12 avrebbe poi dovuto far accendere la lampadina, e far pensare che si trattasse di uno scherzo appunto.
Diciamo che un velato fondo di correttezza ci sarebbe pure. In particolare, la somma infinita dei numeri interi, usando la funzione zeta di Riemann e operando sui numeri complessi, può portare al numero -1/12, ma non è corretto dire che questo sia la loro somma.
Veniamo invece alle mistificazioni scientifiche dell’articolo, che sono interessanti. La prima, e più importante, è che non si possono fare i conti con le serie infinite usando tecniche mutuate dalla matematica del finito. Non si può dire, in matematica, e lo abbiamo visto nel ciclo di articoli su Cantor e sull’infinito, che se una serie infinita enumerabile somma ad S, allora la sommatoria della serie cui è stata applicata una funzione f a ciascun elemento somma ad f(S), ovvvero che se:
x1 + x2 + x3 + ……. = S
ove x1… sono infiniti elementi, allora
f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……. = f(S)
Ad esempio, nella serie dei numeri pari:
2 + 4 + 6 + ….
ciascun elemento è pari al doppio dei numeri naturali
1 + 2 + 3 + ….
sono entrambe somme uguali ad un infinito dello stesso ordine, cioé quadratico.
Nel caso dei numeri naturali, a scoprire la funzione che esprime la somma dei numeri fu il genio di Gauss. Già in tenera età Gauss scoprì che:
1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
di ordine n^2, appunto.
Applicando la stessa formula si ottiene che
2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n+1)
Ora, quando n tende all’infinito, si usa l’operazione di limite, ed entrambe le somme, pur se una il doppio dell’altra, tendono ad infinito con eguale velocità.
Il trucco con cui i ricercatori di Numberphile incantano le folle (sono veri ricercatori universitari), è proprio di ignorare il fatto fondamentale che le serie infinite vanno maneggiate in questo modo, prima trovando la funzione generale somma per poi passare al limite all’infinito.
Se si manipolano le serie inifinte come fossero finite, è possibile dimostrare praticamente qualsiasi risultato. Ma questo i ricercatori lo sanno benissimo, capito perché ridono così tanto nel video?
-> Vai all’approfondimento sui Numeri Naturali
-> Vai all’approfondimento sulle somme infinite.
-> Vai all’approfondimento su Gauss
Grazie infinite del chiarimento , stavo impazzendo nel cercare di dare un senso a quel risultato , non riesco mai a pensare che possa essere un errore o uno scherzo ahaha
Grazie a te Francesco per il prezioso feedback positivo!
E’ corretto! La somma dei numeri naturali da 1 a +oo = -1/12
Che piaccia o meno, viene utilizzato nella rinormalizzazione in MQ per eliminare gli infiniti: e funziona.
Qualche giorno fa è apparso questo articolo http://www.scienzainrete.it/contenuto/articolo/tommaso-maccacaro/infinito-no-grazie/febbraio-2016
Ho provato a segnalare qualche dubbio circa le varie “inesattezze” che mi sembra siano presenti, ma non c’è traccia di commenti. Ho anche citato questo post, dipenderà da questo?
Che dire? Nella matematica che ho studiato io (e Gauss) la somma dei naturali diverge!
Ci sono varie affermazioni nella pagina segnalata da Ferruccio che lasciano perplesso (tra cui il fatto che i fisici abbiano problemi con l’infinito).
Tra le varie che ho notato io forse quella “che i fisici abbiano problemi con l’infinito” può anche trovare un senso nell’accezione che, spesso, la presenza di un infinito sia la spia di un problema nella teoria che lo genera.
Della superficie di un toro o di una sfera infinita e misurabile ne vogliamo parlare?
Ma forse è vero che anche i fisici hanno problemi con gli infiniti 🙂
A mio avviso, è ovvio che possano esistere valori così, anche se apparentemente irrazionali: dimostrare significa provare della certezza matematica di una cosa, ma essendo che “in ogni teoria abbastanza espressiva da poter contenere l’aritmetica, esiste una formula tale che non è dimostrabile, né lo è la sua negazione”, come disse e dimostrò Kurt Gödel, allora si capiscono due cose:
1- non è possibile raggiungere una verità assoluta, non si può dire che una serie non raggiunge un valore solo perché è intuitivamente errato
2- ogni dimostrazione ha validità sulla base delle sue premesse, criticare una dimostrazione significa criticare l’intero sistema matematico.
Se questo valore (che come mostra in quel video e nei precedenti per le premesse, di un canale che conosco e seguo da tempo), non solo è dimostrabile, ma è anche applicato in diversi campi della fisica dai migliori scienziati del mondo, allora forse non è poi così sbagliato.
Anche quando Russell dimostrò, attraverso il suo celebre paradosso, che la teoria degli insiemi mostrava un’enorme falla nel suo sistema apparentemente perfetto, nessuno ci credeva, eppure è così: può l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi contenere se stesso?
Vero! Però che la somma dei numeri naturali diverga non è una proposizione indecidible !
Forse mi sono spiegato male: la dimostrazione matematico, per quanto possa essere uno strumento limitato, finché segue un filo logico ha senso, la base della dimostrazione che la somma di tutti i numeri naturali è inoppugnabile finché si accetta che la somma di 1-1+1-1+1-1+1-1+1…. eccetera sia uguale ad 1/2, ed è proprio questo che la rende soggetta a critiche, c’è chi dice che sia vero e chi no.
Il fatto che questa dimostrazione sia in contrasto con la divergenza della somma è da imputare, secondo me, all’incompletezza della matematica, i paradossi sono ovunque.
E l’ultima cosa che mi convince che sia effettivamente plausibile come risultato è il largo utilizzo che se ne fa, se non fosse attendibile, perché farlo?
*matematica
Dovrei prestare più attenzione alla forma grammaticale, vedo che non si capisce molto di quello che scrivo
Assolutamente, ti sei spiegato benissimo! In questo caso specifico, però, il risultato che si ottiene manipolando le serie parziali non è dovuto alla inerente oscillazione tra complwtezza e coerenza dei sistemi di assiomi matematici (Godel). È semplicemente un procedimento errato!