Ora che abbiamo a disposizione strumenti che facilitano la divulgazione di concetti complessi e non immediatamente intuitivi, possiamo riprendere un tema sospeso da lungo tempo: la velocità istantanea. Lo facciamo grazie alla calcolatrice Casio FX-CP400 “Classpad II” e alle sue notevoli funzioni di calcolo simbolico.
Nell’ormai lontano febbraio 2011 abbiamo introdotto un esempio di calcolo della velocità, dividendo lo spazio percorso per il tempo che impieghiamo a percorrerlo:
v = s / t
L’esempio era relativo ad un automobile che viaggia alla velocità di 170 Km/h. Dicevamo che il significato della velocità come grandezza fisica è di indicare la distanza percorsa in un dato lasso di tempo. Quindi, 170 km/h significano percorrere uno spazio di 170 Km in un’ora di tempo (e il ritiro della patente). Tale calcolo è necessariamente legato ad una media, ovvero al numero di Km (170) percorsi in un tempo sufficientemente ampio (un’ora).
Ma se volessimo, invece, calcolare la velocità istantanea? In questo caso dovremmo dotarci di uno strumento matematico un tantino più sofisticato. Innanzitutto, usiamo le unità di misura corrette, quindi misuriamo lo spazio in metri e il tempo in secondi. La velocità è quindi misurata in metri al secondo (m/s). Supponiamo di procedere a velocità costante, diciamo 2 metri al secondo. Il primo secondo percorreremo 2 metri, il secondo 4, il terzo 6, e così via. In breve, lo spazio è dato dalla seguente funzione:
f(x) = 2x
dove x, in questo caso è il tempo. Avremmo potuto usare la variabile t, ad indicare proprio il tempo, ma – per motivi chiari in seguito – è meglio usare la variabile generica x.
Per calcolare la velocità istantanea, che in questo caso sappiamo già essere 2 m/s, dobbiamo dividere lo spazio per il tempo. Supponiamo di osservare il moto del veicolo per un tempo pari ad ε (epsilon). Lo spazio percorso in questo tempo sarà pari alla differenza:
f(x+ε)-f(x)
Cioè allo spazio percorso al tempo x+ε meno quello percorso al tempo x.
Sappiamo che la velocità media è data dallo spazio percorso diviso il tempo, pari proprio ad ε:
Ed ecco la magia che ci porta a formulare un nuovo strumento: il limite. Per calcolare la velocità istantanea, abbiamo bisogno di portare il tempo di misurazione ad un valore sempre più piccolo, tale da avvicinarsi allo zero. E’ una operazione che può apparire paradossale perché, se dividiamo per zero, otteniamo un numero infinitamente grande.
Ma infatti non vogliamo che ε valga esattamente zero, ma che si avvicini allo zero. E’ proprio questa, la definizione di limite. Espandiamo l’espressione:
ed osserviamo che il termine al numeratore si semplifica (usiamo la funzione expand della Casio) in
ma, grazie ad ε al denominatore, anche il termine infinitesimale si semplifica e resta un valore costante: 2. La velocità in metri al secondo. Questa operazione si scrive come segue:
e si legge “limite per epsilon tendente a zero di ...”.
Ricordate bene questa definizione perché – ed ecco perché abbiamo usato la variabile x – è la definizione della derivata prima, operazione essenziale del calcolo differenziale e altro strumento importantissimo.
Limite e derivata prima diventeranno patrimonio permanente della nostra borsa del matematico. Da questo momento in poi, infatti, calcolare la velocità istantanea grazie alla derivata prima è solo questione di pochi passaggi. Ecco un secondo esempio di velocità 
non costante:
f(x)=x^2
Usiamo la definizione di cui sopra, ed espandiamo la definizione di derivata prima:
Al numeratore resta l’espressione
ε^2+2εx
che, a sua volta, si semplifica con il denominatore restituendo 2x come risultato.
In sostanza, il nostro mezzo sta accelerando in questo secondo esempio, perché la sua velocità è a sua volta pari ad una funzione. Come dite? Volete sapere a quanto ammonta l’accelerazione? Ma è semplice: basta calcolare nuovamente la derivata prima della velocità. E’ esattamente l’esempio precedente: l’accelerazione sarà pari a 2 m/s^2.
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