Sam Loyd e il gioco del 15

samloydTutti abbiamo sicuramente giocato con il gioco del 15, il rompicapo in cui bisogna ordinare 15 tessere numerate progressivamente, ridisponendole in ordine crescente. E’ un gioco che rapidamente si impara a risolvere e che rimane prontamente archiviato nella nostra memoria di ragazzi e ragazze.

Il puzzle è stato inventato dal geniale Sam Loyd, scacchista americano e appassionato di matematica ricreativa, nato a Philadelphia il 30 gennaio 1841 e morto a New York, il 10 aprile 1911. Grande scacchista di livello internazionale, ha inventato oltre 5000 problemi di scacchi, molti dei quali fondamentali per l’apprendimento della nobile arte.

Come matematico ricreativo ha inventato diversi giochini, il più famoso del quale è il gioco del 15, eccolo qua, in una locandina dell’epoca:

1415puzzle

basta dedicarsi un pò di tempo a questo divertente giochino che si trova rapidamente la soluzione. Tuttavia, ne esiste una variante decisamente intrigante, con il 15 ed il 14 invertiti, con cui il brillante scacchista americano nel 1880 ha fatto letteralmente impazzire il mondo.

Sam Loyd aveva promesso ben 1000$ di ricompensa, una cifra astronomica all’epoca, a chi fosse stato in grado risolvere il puzzle con le tessere 14 e 15 invertite. L’america impazzì, e ci vollero ben 9 anni prima che i matematici Johnson e Story dimostrarono, nel 1889 appunto, che il rompicapo era impossibile da risolvere.

Un vero burlone Sam Loyd, perché era perfettamente conscio del brutto tiro che stava giocando al mondo intero. Oltretutto, secondo ulteriori ricerche di Jerry Slocum e Dic Sonneveld il rompicapo sarebbe stato in realtà inventato da un postino dell’area di New York, Noyes Palmer Chapman. Ma, tant’è, a Sam Loyd va il merito di aver saputo porre un quesito matematico innovativo e di intrigare un numero talmente alto di persone da rendere vivo l’interesse per la matematica ricreativa.

Impossibile non citare, per gli appassionati, la monumentale opera divulgativa di Martin Gardner, che ha saputo raccontare con grande vivacità questo e altri rompicapo del nostro furbo scacchista. Ma come si fa a capire che il rompicapo con il 14 e il 15 invertito è irrisolvibile?

Come in molti esempi in matematica, per risolvere un problema occorre prima trasformarlo in una versione più semplice, e il puzzle del 15 non fa eccezione. Ed ecco come procederemo, senza usare formule matematiche: scriviamo in sequenza le tessere secondo l’ordine in cui appaiono lascando il buco, cioé al punto in cui non c’è la tessera, in basso a destra.

La soluzione del rompicapo in versione standard è data dalla sequenza:

[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15]

Osserviamo subito che una permutazione delle tessere non può essere una soluzione se il buco non occupa l’angolo in basso a destra, Di qui, la prima osservazione:

il numero di mosse necessarie per riportare il buco in basso a destra è sempre pari

Ogni disposizione delle tessere è un insieme parzialmente ordinato rispetto all’operatore  < “minore”, ovvero è  possibile valutare il grado di disordine nello schema, contando il sottoinsieme di tessere già parzialmente ordinato, ad esempio in questa configurazione

15conf

 

rappresentata da

[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 14 15 13 10 11]

la sotto sequenza [1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 14 15] è parzialmente ordinata rispetto all’operatore < . A noi interessa usare questa relazione per valutare il grado di disordine di una specifica configurazione. Allo scopo estraiamo tutte le coppie che non obbediscono all’ordine parziale rispetto a < :

(12 10),(12 11),(13 10), (13 11), (14 13) (14 10) (14 11), (15 10), (15 11), (15 13)

per un totale di 10 coppie disordinate. Questa è la nostra misurazione per valutare il grado di disordine.

In quest’altra, invece:

15conf1a

[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 13 14 11 ]

il numero di coppie disordinate è 6:

(12 11), (15 13), (15 14), (15 11), (13 11), (14 11)

Le coppie disordinate si ottengono andando a prendere dallo schema i numeri che non sono in sequenza dal minore al maggiore, a coppie appunto. Si dimostra che, con questa definizione di grado di disordine di uno schema, il seguente fatto è sempre vero:

il numero di coppie disordinate è sempre pari

Quindi, il rompicapo nella versione di Sam Loyd, a 14 e 15 invertito:

puzzle15rev

è rappresentato da questa configurazione

[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14]

il cui corrispondente numero di coppie disordinate è 1:

(15 14)

Per questo motivo il rompicapo a tessere invertite non si può risolvere.

Volete sapere qual’è la branca della matematica che consente di risolvere questo problema? La Teoria dei Gruppi. Ci torneremo su.

-> Prova il gioco del 15 online

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Una risposta a Sam Loyd e il gioco del 15

  1. Carlo Bianchi scrive:

    Credo che dòvrò scrivere agli eredi di Sam Loyd perchè io sono riuscito a finire il gioco del 15 come da sua richiesta , premetto che ho giocato su un sito ma comunque sono riuscito a chiudere il gioco con il 15 al posto del 14 e posso dimostrarlo con tanto di foto

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