Era già accaduto un paio di anni fa, quando venne pubblicato un banale quiz di aritmentica su un social network professionale, che raccoglie professionisti, appunto. All’epoca fece scalpore il fatto che il numero di risposte errate era di oltre il 60%, eppure si trattava di un banale esercizietto di aritmetica. Trattandosi di professionisti, e con un livello di istruzione che non dovrebbe essere trascurabile, non si può che restare stupiti dal fatto che la consuetudine, il passare del tempo, i tanti impegni lavorativi che spesso non richiedono un approccio formale, possono portare a dimenticare le basi della matematica, e cioé l’aritmetica.
E’ accaduto di nuovo, stavolta con un quiz pubblicato dagli studenti dell’Università 
Cattolica di Milano. Di nuovo un putiferio di risposte fantasiose e, come sempre, il vero tesoro è leggere i commenti e, purtroppo, constatare che il nostro paese sta ancora molto indietro in quanto a cultura scientifica. La risposta la sapete: in aritmetica la precedenza va prima alla moltiplicazione. Ma quello che pochissimi sembrano sapere è il perché.
Per capirlo, dobbiamo ripercorrere brevemente l’idea brillante di Peano per la definizione dei numeri naturali (lasciamo il lettore curioso ad un approfondimento in fondo pagina): la formalizzazione di Peano dei naturali (0, 1, 2, 3, 4 per intenderci) è semplice:
1. Esiste un elemento iniziale detto 0.
2. Esiste un operatore, detto successore, che genera l’elemento successivo.
Così, quando contiamo, applichiamo semplicemente l’operatore successore, arrivando ad 1, poi a 2, poi a 3 e così via. Questa assiomatizzazione consente di definire l’intera aritmetica: tutte le operazioni si basano su una reiterazione dell’operatore successore
- la somma è una reiterazione dell’operatore successore
- la sottrazione è l’operazione inversa della somma
- il prodotto è una reiterazione dell’operatore somma
- la divisione è l’operazione inversa del prodotto
- la potenza è una reiterazione del prodotto
Ad esempio 2 + 2 è una reiterazione dell’operatore successore per 2 volte, a partire dal numero 2. Il prodotto 2 x 4 è una reiterazione della somma 2 + 2 + 2 + 2, in cui ogni somma a sua volta è una reiterazione dell’operatore successore, e così via.
Le regole di precedenza dell’aritmetica servono proprio a garantire che, nell’ordine di ricostruzione delle operazioni, l’espressione abbia sempre e solo lo stesso risultato. Guarda caso, l’ordine di precedenza è inverso rispetto allo schema di costruzione delle operazioni matematiche, secondo gli assiomi di Peano. Cioè si dà rispettivamente precedenza prima alle potenze, poi a moltiplicazioni e divisioni, poi a somme e sottrazioni.
Se così non facessimo, solo per fare un esempio ma se ne potrebbero illustrare mille altri, non sarebbe garantita la proprietà commutativa della somma che asserisce che, per ogni numero a e b, allora
a + b = b + a.
Infatti, se a = 1 e b = 3 x 2, allora ignorando le regole di precedenza avremmo che:
a + b = 1 + 3 x 2 = 8
e
b + a = 3 x 2 + 1 = 7
I due risultati sarebbero diversi e non varrebbe la proprietà commutativa.
Ecco perché, e lo dovremmo sapere, si dà la precedenza alla moltiplicazione.
-> Vai all’approfondimento su Peano
Secondo me c’è un salto logico non chiaro negli ultimi paragrafi. Nell’esempio al fondo l’espansione dovrebbe raccogliere (3×2) fra parentesi, perché è una sottoespressione che scegliamo di ignorare nel momento in cui la chiamiamo “b”.
Allo stesso modo potrei dare una definizione: a = 2, b = 2+3. Sappiamo ab = ba sui naturali, allora secondo le idee dell’articolo:
ab = 2×2+3 = 2+3×2 = ba
Chiaramente l’uguaglianza al centro non sussiste se scegliamo di seguire l’ordine convenzionale.
ab è una nuova lettera come ab=f e ba=d
non è come fare a+b=c o b+a=c e c=a+b
se intendevi fare a x b= b x a
nell’articolo non viene espressa questa possibilità
ma solo a+b=b+a per rispettare la proprietà commutativa
Ho sempre apprezzato la “furba” definizione di Peano come costruire dal “niente” (l’insieme vuoto) tutti i numeri naturali. Se non si dice come il matematico Kronecker “I numeri naturali ha fatto Dio, il resto hanno fatto i matematici” – poi si deve presentare anche un modello e mi sembra che questo di Peano sia il più elegante. Era una lunga via dai numeri naturali ai numeri interi, poi numeri razionali fino ai numeri reali. Infatti si ha usato questi extensioni per secoli fino Cauchy e Weierstrass hanno dato una rigida formulazione matematica. (Lo stesso è successo con i numeri complessi: Euler, Gauss, Cauchy, Weierstrass e Riemann sono entrati un un paradiso mathematico, ma la definizione della “unità imaginaria” come il paio (0,1) insieme con un’estensione della moltiplicazione molto tardi. ) Soltanto con i numeri complessi si può formulare bene la teoria quantistica. ..Su i “quaternioni” di Hamilton un altra volta…
SI, è vero: l’avventura della matematica è una meravigliosa serie di intuizioni. Tutte geniali!