Decisioni strategiche in regime di incertezza: un esempio ludico

Complice Romics, il festival internazionale del fumetto, dell’animazione e del gioco d’autore che si è svolto lo scorso weekend a Roma, abbiamo scovato tra gli  stand un piccolo gioco da tavolo che riserva soprese decisamente interessanti: Age of War, edito da Giochi Uniti.

Il gioco da tavolo, se ben scelto e ben progettato, è una occasione importante per praticare principi astratti e visualizzare concetti teorici che, altrimenti, sarebbero troppo sfuggenti per essere intercettati nella vita reale. Age of War è un piccolo gioiellino della mente prolifica di Reiner Knizia, classe 1957 e inventore di oltre 600 titoli pubblicati sotto vari editori.

Knizia, con in tasca un dottorato di ricerca in Matematica dell’Università di Ulm, in Germania, ha lasciato un solido posto da dipendente bancario nel 1997 per dedicarsi allo sviluppo dei giochi da tavolo. Tutti i suoi titoli sono talmente ben progettati e disegnati da far assurgere Knizia ad esponente esemplare del cosiddetto “gioco german”, ovvero alla tedesca.
I suoi giochi, come i giochi tipicamente “german”, sono tutti basati su un impianto teorico fortemente astratto, poi sapientemente vestito attraverso una ambientazione che li renda fruibili e, perché no, divertenti. Per giocare ai giochi german occorre una mentalità matematica piuttosto spiccata, mentre per vincere occorre praticare con una certa dimestichezza capisaldi importanti della matematica come teoria dei grafi, ricerca operativa, calcolo combinatorio e delle probabilità.

L’impianto dei giochi di Knizia è però tale da mascherare completamente questi principi astratti generali e renderli fruibili a tutti i livelli. Age of War non sfugge alla regola e, cosa piuttosto desiderabile, dura poco – circa 30 minuti in tre – e costa altrettanto poco: 13€.

Il gioco è composto da un certo numero di carte, rappresentanti un castello del Giappone feudale, e ciascun castello appartiene ad un clan. I giocatori si contendono i castelli, tentando di conquistarli medianti assalti ripetuti con le proprie truppe. E qui si innesta il genio di Knizia: le truppe sono rappresentate da sette dadi e ad ogni lancio occore che si verifichi almeno una condizione dettata dalla carta che si intende conquistare. Sulle carte sono raffigurate delle cosiddette linee di combattimento, che rappresentano, in realtà, combinazioni che si devono verificare con i dadi. Ad ogni turno si può scegliere un solo castello e ad ogni lancio di dadi si deve realizzare esattamente la combinazione ammessa su una delle linee rimaste libere del castello prescelto, non si possono collocare dadi su porzioni di linee di combattimento e non si può cambiare castello dopo l’assalto.

Su ciascuno dei sette dadi sono raffigurati, nell’ordine, una, due o tre spade per rappresentare la fanteria, un cavaliere, un arciere e un generale. Ad ogni assalto al castello il giocatore lancia inizialmente i sette dadi e decide, sulla base della combinazione uscita, quale castello assaltare. Se la combinazione dei dadi lanciati soddisfa almeno una linea di combattimento, allora colloca i dadi relativi sulla linea e prosegue con un nuovo lancio di dadi. Se il lancio non soddisfa alcuna linea del castello prescelto, allora il giocatore scarta un dado e ritenta il lancio. Il turno termina se il giocatore ha conquistato il castello o terminato i dadi.

Se il giocatore conquista il castello lo pone tra i propri castelli, ma attenzione perché una volta conquistato il castello può essere riconquistato da un altro giocatore se, oltre alle condizioni dettate dalle linee di quel castello, aggiunge anche al lancio dei dadi una ulteriore linea di combattimento costituita da un solo generale. Quando un giocatore conquista tutti i castelli dello stesso clan (ad esempio tutti e quattro i castelli gialli), allora questi non sono più riconquistabili da altri giocatori e restano, per così dire, protetti.
Ciascun castello vale un certo numero di punti e, quando si conquista l’intero clan, si ottiene un punto addizionale. La partita termina quando sul tavolo non sono rimasti castelli da conquistare, ovvero quando un giocatore conquista l’ultimo castello non posseduto da altri giocatori e vince chi fa più punti.

Un impianto semplicissimo, ma che ha tutta una serie di genialità e prinicipi astratti che candidano il gioco, a tutti gli effetti, a validissimo strumento didattico. Il gioco, così improntato, consente di esplorare le strategie in cui occorre massimizzare la probabilità di ottenere vantaggi da ciascuna scelta.

Il fatto di avere sette dadi è un punto cardine dell’impianto. Dal punto di vista della ambientazione, è come se ciascun giocatore fosse un generale che, a sua volta, guida ad ogni assalto un esercito composto da sette generali, sette battaglioni di cavalieri, sette di arcieri e 42 battaglioni di fanteria, appunto il totale delle truppe potenzialmente a disposizione sui sette dadi. Ogni lancio di dadi corrisponde ad un assalto organizzato, dove ad emergere sono gli elementi dell’esercito che si distinguono in battaglia, tanto da arrivare a candidarsi ad assaltare le linee nemiche. E solo quando l’organizzazione è adatta alle specificità della linea, questa viene presa.

Osservate la figura a destra, supponiamo di aver lanciato i dadi e che la combinazione uscita sia di due generali, sei fanterie e due cavalieri. Il castello ammette tre linee di combattimento: una da due fanterie, una da cinque fanterie e due di cavalieri. Per proseguire l’assalto dobbiamo scegliere quale linea di combattimento riempire.
Supponiamo di riempire la linea costituita cinque fanti con i due dadi da due e tre spade rispettivamente. Osservate che la collocazione dei dadi su una linea di combattimento ha un doppio effetto, da un lato riduce i dadi a disposizione per il successivo assalto, dall’altro riduce le linee di combattimento residue del castello. Collocare i dadi vuol dire, a tutti gli effetti, subire delle perdite nel proprio esercito potenzilamente a disposizione, che ora diventa di cinque dadi.

Si dimostra che mentre il numero di combinazioni possibili di N dadi è 6^N, il numero di esiti possibili, tenendo conto che l’ordinamento dei dadi usciti è indifferente, è pari al binomio di Newton (N+5, 5). Nel caso specifico di 7 dadi, a fronte di 279936 combinazioni possibili, i possibili schemi diversi, tenendo conto che l’ordine non conta, si riducono a 792. Ciò per dire che il gioco è sufficientemente raffinato da richiedere una euristica specifica, ovvero un metodo di semplificazione per valutare la probabilità di ciascun esito.

Ma torniamo al caso concreto:al successivo assalto dobbiamo soddisfare le due possibili combinazioni residue, ovvero di due fanterie e due cavalli. La combinazione da due fanterie è la più facile da realizzare con cinque dadi, mentre quella da due cavalli è relativamente meno probabile.
Questa è una delle caratteristiche più geniali del gioco: ad ogni assalto il giocatore deve far si che la probailità di popolare le linee residue sia massima. Chi segue il blog sa che la probabilità si calcola come segue:

Probabilità di un evento = numero eventi favorevoli / numero eventi possibili

la probabilità è quindi tanto maggiore quanti sono le combinazioni con cui il giocatore può prendere una specifica linea di combattimento. Nell’esempio che abbiamo visto sopra, la scelta di collocare le 5 fanterie non sarebbe stata la migliore. Avrebbe, infatti, lasciato la combinazione  dei due cavalli per un assalto successivo, quando con meno dadi sarebbe stata la meno probabile.

Per stimare il numero di combinazioni che consentono di realizzare una linea di combattimento, si può semplificare l’approccio ipotizzando di avere a disposizione due soli dadi. Il numero di combinazioni, con due dadi, che consente di avere almeno 5 fanterie è 3: rispettivamente 3 sul primo dado è 2 sul secondo, 2 e 3 e, infine, 3 e 3. In totale abbiamo 3 combinazioni. Il numero di combinazioni che consente di avere due cavalieri è invece una sola.

Poiché, su due dadi, le combinazioni possibili sono 36, lasciarsi i due cavalieri per ultimi sarebbe un errore perché ci affideremmo ad una misera probabilità di 1/36, esattamente come giocare un numero secco alla roulette. Scegliere le 5 fanterie sarebbe un errore perché lascerebbe per dopo una combinazione meno probabile. A fine articolo il lettore può trovare una serie di link di approfondimento su questi temi, abbondantemente trattati in questo blog,

Ora, la raffinatezza di questo piccolo giochino sta nel fatto che la casualità inerente al lancio dei dadi è abbondantemente compensata dal numero di lanci che avviene in una partita è considerabile come un grande numero. Convenzionalmente, in statistica, si considera campione sufficiente una collezione di almeno 30 elementi. Con queste regole, nel caso peggiore in cui si ogni lancio dei dadi non consenta di prendere una linea (estremamente raro), ogni giocatore lancia il dado  21 volte. Alla fine della partita, quindi, la distribuzione degli esiti è praticamente identica per ogni giocatore, il che rende l’impatto della casualità essenzialmente uguale per tutti.

Knizia è estremamente raffinato nel design dei giochi, per cui un metro di immediata valutazione della probabilità di prendere ciascuna carta è data dal punteggio stampato sulla stessa carta: più è alto e minore è la probabilità di prenderla.

Alla fine del gioco, vince il giocatore che riesce a collocarsi lungo un percorso di scelte che massimizza il numero di combinazioni  per prendere le linee di combattimento residue dei Castelli che, via via, decide di aggredire. I giocatori devono tenere conto di una delle naturali conseguenze dell’impianto probabilistico del gioco: le probabilità di vittoria si riducono se si gioca ripetutamente puntando ad un castello specifico, il che rende meno probabile collezionare tutti i Castelli dello stesso clan. Ne consegue che più punti si ricercano, meno probabile è ottenerli. Un trade-off che è caratteristico delle decisioni da prendere in regime di incertezza.

In tutti i regimi di incertezza, una delle  cose che può accadere, quando i gradi di libertà si riducono, è il fenomeno dello stallo. È una condizione tipica in cui nessun attore riesce ad ottenere ciò che desidera. Anche in questo gioco può accadere ed è il tipico caso in cui i giocatori adottano una strategia molto lontana dall’ottimo, ovvero dalla massimizzazione delle combinazioni vantaggiose. In altri termini, il gioco va in stallo se i giocatori giocano male.

Insomma: in affari, in guerra, nello sport, in amore e nella vita reale, chi non risica non rosica. E questo gioco riesce esattamente a riprodurre questo meccanismo in modo molto raffinato e ricco di sfumature strategiche, il che lo rende un esempio ludico di grande interesse sia per insegnare il calcolo delle probabilità ai nostri ragazzi, sia in azienda, come valido supporto al team building per trattare temi altrimenti di grande complessità.

LidiMatematici va in pausa e torna tra due settimane.

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*** 15 ottobre: aggiornamento per gli incalliti della combinatoria:

La probabilità di avere D cavalli (o arcieri) su N dadi è  data dalla formula seguente:

quindi, se vogliamo avere D=2 cavalli rispettivamente con N da 2 a 7 dadi, le probabilità calano rispettivamente al 33.02% (7 dadi), 26.32% (6 dadi), 19.62% (5 dadi), 13,12% (4 dadi), 7.4% (3 dadi), 2.78% (2 dadi).

Per come sono strutturati i dadi e le carte in Age of War, la formula per D=2 vale anche per calcolare la probabilità di avere due arcieri o un cavallo ed un arciere.

Per avere la probabilità di ottenere almeno un cavallo (o un arciere o un generale) le probabilità sono decisamente migliori. Basta sostituire D = 1 ed N da 1 a 7 dadi per ottenere, rispettivamente 72.09% (7 dadi), 66.51% (6 dadi), 59.81% (5 dadi), 51.77% (4 dadi), 42.13% (3 dadi), 30.56% (2 dadi), 16.67% (1 dado, pari ad 1/6) .

Al denominatore, il numero di combinazioni favorevoli, al numeratore il totale delle combinazioni con N dadi.

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3 risposte a Decisioni strategiche in regime di incertezza: un esempio ludico

  1. zoomx scrive:

    Che ne pensi della recensione negativa di questo gioco fatta qui? (Quando torni!)
    https://www.goblins.net/recensioni/age-war-knizia-ci-porta-nel-giappone-feudale

    • LidiMatematici scrive:

      Ho letto la recensione e devo dire, non senza sorpresa, che è stŕano che un sito così autorevole abbia preso l’abbaglio di pensare che una volta scelto il castello non ci sia strategia, in realtà, come abbiamo visto, non è così. Sulla innovazione nulla da dire, sicuramente la Tana ha una memoria e una competenza sicuramente più estesa, ma il gioco preso singolarmente è interessante.

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