Ebbene sì, era un titolo un poco strillato: la matematica della Superluna

Decisamente, il post sulla Superluna era strillato. Il perché è presto detto, in un epoca in cui a predominare è chi urla di più, per farsi sentire occorre urlare. Facendo esattamente ciò che non si dovrebbe, ma tant’è.

Per fare ammenda in questo post forniamo gli strumenti scientifici a supporto delle affermazioni del post scorso. Avevamo detto che la Superluna è una mera invenzione giornalistica, poiché il nostro satellite è in orbita attorno alla Terra lungo una traiettoria lievemente ellittica con un punto di distanza minima, il perigeo, ed uno di distanza massima, l’apogeo.

In quel post, senza darne opportuna dimostrazione, avevamo detto che la differenza angolare del disco lunare è molto modesta, dando una stima massima del 14%, e oggi ne facciamo una analisi dettagliata. Iniziamo con qualche numero:
– diametro della Luna: 3474 Km.
– distanza minima Luna-Terra (Perigeo): 363000 Km
– distanza massima Luna-Terra (Apogeo): 406000 Km

Vogliamo calcolare il diametro apparente del disco lunare, in gradi, visto dalla terra. Prima di procedere è necessario ripassare rapidamente le definizioni della trigonometria, raffigurate nella circonferenza di raggio 1 a destra. Qui, il raggio PO è pari ad 1, e le funzioni seno e coseno sono rispettivamente pari al segmento PQ e OQ. Tralasciamo per il momento la tangente, non necessaria per i nostri scopi.

Ora usiamo il teorema della corda, rappresentato nella figura a destra, in cui la Luna, di diametro D è posta alla distanza R dalla terra e il suo disco è sotteso dall’angolo beta. La relazione tra queste tre grandezze si ricava osservando che la bisettrice taglia in due sia l’angolo beta che la superficie lunare D e, quindi, applicando un poco di semplice trigonometria, il seno di beta/2 è uguale a D/2 e, quindi:

 

 

 

un semplice passaggio aritmetico ci consente di separare la funzione seno e, quindi determinare l’angolo beta:

Da qui, abbiamo due strade, una precisa, che coinvolge la funzione inversa del seno (arcoseno, anche rappresentata con il seno all’esponente -1):

e l’altra che sfrutta una proprietà estremamente interessante dei piccoli angoli. Quando beta è molto piccolo, il seno ha la proprietà di essere approssimato dallo stesso angolo. La formuletta seguente è la approssimazione polinomiale della funzione seno, mediante la cosiddetta Serie di Taylor (ci torneremo su in un secondo momento) e consente di comprendere come, nell’intorno dello zero, la funzione seno sia approssimabile con una retta:

Anche i grafici delle funzioni seno ed x, sovrapposti, mostrano esattamente lo stesso fenomeno:

E’ una proprietà molto utile nelle applicazioni di telemetria, ovvero di calcolo delle  distanze, ampiamente sfruttata nei binocoli militari. Noi la applichiamo invece al caso della valutazione angolare della distanza Terra-Luna, semplificando il lato sinistro della equazione intermedia che abbiamo visto prima, che da

diventa

In buona sostanza, l’angolo che sottende il disco lunare si ottiene con una divisione semplicissima: diametro del disco (D) diviso la distanza Terra-Luna (R). Attenzione che il risultato angolare è in radianti, e per essere convertito in gradi deve essere trattato opportunamente.

Dato che R è molto maggiore di D, l’approssimazione che si ottiene con la formula semplificata è notevole. Facendo due conti, al perigeo (R=363000 Km) occorrono cinque cifre decimali prima di avere uno scostamento tra la stima e la formula esatta:

– angolo beta con formula esatta: 0,54834° = 0°32’54.02’’
– angolo beta approssimato: 0,54833° = 0°32’53.99’’

con la formula approssimata si ottiene  un errore di 0.04 secondi di arco: veramente una inezia.

Il punto è che se possiamo approssimare il calcolo dell’angolo beta mediante il rapporto D/R, allora il rapporto tra la ampiezza angolare beta al perigeo e all’apogeo è semplicemente dato dal rapporto tra le distanze minime e massime.

Ciò significa che se le distanze al perigeo e all’apogeo sono rispettivamente di 363 e 406 mila Km, l’incremento angolare è pari all’incremento di distanza, ovvero uno sparuto (406-363)/406 = 11,8%

Cosa vuol dire una differenza del 12% scarso in più tra apogeo e perigeo? Usiamo direttamente la formula approssimata per calcolare l’angolo del disco lunare all’apogeo:

– angolo beta all’apogeo D/R = 0.00856 radianti = 0.490261 gradi = 0°29’24.94’’

La differenza angolare tra l’apogeo e il perigeo è di circa tre minuti e mezzo di arco.

Un valore davvero trascurabile: pensate che i sistemi di rilevamento radar per la radionavigazione di classe A (la massima) hanno una precisione di 2 gradi, rispetto a cui i nostri tre minuti e mezzo di arco sono circa 50 volte inferiori.

L’unica alternativa possibile alla cultura dell’urlo è una solida base scientifica, che ci consente di costruire un modello oggettivo della realtà, basato su osservazioni consistenti e ripetibili, e ci mette a riparo dalle bufale e dalle interpretazioni distorte che fanno comodo a pochi. Insomma, sì: la Superluna è una sciocchezza giornalistica colossale.

 

(Formule e grafici ottenuti con WolframAlpha)

 

 

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Una risposta a Ebbene sì, era un titolo un poco strillato: la matematica della Superluna

  1. Stefano Gliozzi scrive:

    E pensare che ci divertiamo a condannare / promuovere un governo, per differenze di variazioni del PIL di qualche decimale di percentuale !!! Qui almeno un 5% più o meno, a occhio dovremmo poterlo valutare (o siamo così inferiori ai greci, con le loro mappe dei movimenti delle stelle fatti ad occhio ?)

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