Tecnica ed estetica del … logaritmo

Nella serie di post pubblicati fino ad oggi, abbiamo messo nella nostra “borsa del matematico” una certa quantità di “ferri del mestiere”. Con Peano abbiamo imparato a contare, con Cantor abbiamo anche capito come gestire gli insiemi infiniti enumerabili. Conosciamo il concetto di somma, prodotto e divisione come fattorizzazione rispetto ai numeri primi.

Alla base di tutte queste operazioni sta la funzione successore di Peano, che serve semplicemente a sommare uno ad un numero naturale qualsiasi. E’ sufficiente questa operazione per costruire tutti gli operatori aritmetici, infatti:

•  la somma è una reiterazione dell’operatore successore
•  il prodotto è una reiterazione dell’operatore somma
•  la sottrazione è l’operazione inversa della somma
•  la divisione è l’operazione inversa del prodotto
•  la potenza è una reiterazione del prodotto

E’ ora di mettere un altro importante ferro del mestiere e cioé l’operazione inversa della potenza: il logaritmo.

Abbiamo detto che la potenza è una reiterazione della somma, quindi:

2^4 = 2x2x2x2 = 16

“due alla quarta” si ottiene ripetendo per quattro volte una moltiplicazione per 2. Ricordate ? Abbiamo incontrato le potenze di due quando abbiamo giocato con le Torri di Hanoi e in diverse altre occasioni. Comprendere il logaritmo è molto semplice: il logaritmo è quell’esponente (4) da dare alla base (2) per ottenere un certo risultato (16). Nell’esempio, il logaritmo in base 2 di 16 è uguale a 4.

Quindi, indicando il logaritmo con la funzione log, le espressioni che seguono:

sono l’una l’inversa dell’altra. Vale a dire che se x è uguale ad a (la base) elevato alla y (esponente), allora y è il logaritmo in base a di x.

So che molti di noi hanno maledetto i logaritmi per anni ma il punto chiave è: per quale motivo il genere umano ha avuto bisogno di sviluppare “addirittura” la funzione inversa del prodotto ? Il genio che ne intuì il potenziale d’uso è stato Giovanni Nepero, nel 1614. Nepero capì, per primo, che attraverso i logaritmi è possibile semplificare calcoli aritmetici tutt’altro che banali. Il logaritmo ha infatti una proprietà estremamente particolare, quella di ricondurre le operazioni aritmetiche complesse a semplici divisioni e sottrazioni, in particolare:

• moltiplicazioni a somme
• divisioni a sottrazioni
• elevazioni a potenza a prodotti
• radici quadrate a divisioni

Sono proprietà estremamente utili che, in modo formale, si esprimono come segue:

e cioé

• il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi
• il logaritmo della potenza è pari all’esponente moltiplicato per il logaritmo
• il logaritmo del rapporto è uguale alla differenza dei logaritmi
• il logaritmo della radice è pari al  logaritmo diviso per l’esponente

Ma come si usano queste proprietà ? Lo vedremo in un post successivo, quando
parleremo del Regolo Calcolatore. Nel frattempo, lasciamo al lettore l’esercizio di derivare le ultime due proprietà (rapporto e radice) dalle prime due (in rosso). E’ una dimostrazione semplice, a patto di ricordare che la divisione per y è uguale alla moltiplicazione per 1/y e che la radice k-ma è uguale all’elevazione a potenza per 1/k.

Il lettore smaliziato sappia che, in realtà, è sufficiente la prima proprietà a dimostrare tutte le altre. Ancora uno spunto di riflessione: non è un caso che ciò accada in completa analogia con la reiterazione della funzione successore di Peano e che, quindi, il logaritmo “abbassi di un ordine” la reiterazione che abbiamo visto ad inizio articolo. Ma, questa, è materia per il lettore davvero smaliziato …