Il Calcolo delle Probabilità (parte 1)

In un anno di attività di LidiMatematici non abbiamo ancora toccato l’argomento davvero interessante del Calcolo delle Probabilità. Dietro la fama esoterica di questa branca della matematica si nascondono in realtà strumenti non troppo complicati che non possono decisamente mancare nella nostra borsa del matematico.

I trattati sono zeppi di distinzioni tra probabilità soggettive ed oggettive che sono tutto sommato poco utili, mireremo piuttosto direttamente al semplice concetto di evento, attraverso esempi pratici. Un evento è un fatto generico che può accadere o meno, senza alcuna certezza. Il punto è: in assenza di certezze, possiamo ugualmente prendere decisioni per gestirlo ?

Supponiamo di lanciare un dado, e che siamo interessati all’evento “esce 6”, la probabilità che questo evento accada è data da questa semplice formula:

Probabilità = Numero di eventi favovervoli / Numero di eventi possibili

Siamo interessati all’uscita del 6, quindi il numero di eventi favorevoli è 1. Ancora, il dado ha 6 facce, allora il numero di eventi possibili è pari a 6. La probabilità è quindi:

P({Esce 6}) = 1/6.

Avrete notato la notazione con parentesi graffe: tenetela a mente perché calcolo delle Probabilità e Teoria degli Insiemi (ce ne siamo già occupati ) sono strettamente correlati, torneremo ovviamente nel merito in seguito. Chiamiamo ora gli eventi come  insiemi, e riflettiamo su questa domanda:

Qual’è la probabilità che si verifichi un evento A oppure uno B ?

Supponiamo di essere interessati a due eventi:

A = {Esce 6 }

B = {Esce 5 }

qual’è, quindi, la probabilità che esca A oppure B ?

Immaginiamo di tirare il dado, gli eventi favorevoli sono ora 2:

P({A oppure B}) = 2/6

esattamente la somma dei due eventi presi singolarmente, quindi:

P({A oppure B}) = P(A) + P(B)

cioé la probabilità che accadano due o più eventi in alternativa è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi. La prima immediata conseguenza di questo fatto e della definizione di probabilità come rapporto tra casi favorevioli e possibili è che le probabilità sommano ad 1. Le probabilità sono sempre, quindi, frazioni minori di 1: è il motivo per cui  si indicano comodamente attraverso le percentuali.

Tiriamo ora due dadi e valutiamo la probabilità che si verifichino gli eventi A sul primo e B sul secondo dado, contemporaneamente.  Quanto varrà ?

A Giovedí !