Vero o falso ? La dimostrazione per assurdo.

In un post precedente, abbiamo parlato dei numeri primi e di Euclide, che fu il primo nel 300 aC, ad esporne una trattazione formale nei suoi Elementi.

Quando si ha a che fare con questioni di scienza occorre dotarsi di strumenti riusabili, un pò come i ferri del mestiere dell’artigiano. Così, mentre un artigiano manipola la materia con attrezzi, il matematico usa metodi e teoremi per costruire le proprie teorie.

Il procedimento di dimostrazione per assurdo è proprio uno di questi strumenti. In matematica nasce dal metodo logico della reductio ad absurdum che prevede l’assunzione di ipotesi appositamente erronee per arrivare ad una contraddizione e, quindi, la conferma che è vero il contrario dell’ipotesi stessa. E’ un procedimento rischioso perché si basa su un assunto che non è sempre vero, il principio del terzo escluso, secondo il quale un’affermazione può essere o vera o falsa, non ci sono “terze vie”.

La dimostrazione per assurdo in matematica procede come segue:

1. Si assume vera una certa ipotesi.
2. Si applicano teoremi, proposizioni e calcoli per tentare di arrivare ad una contraddizione rispetto all’ipotesi fatta.
3. Se si identifica una contraddizione, allora l’ipotesi formulata è dimostrata falsa.

Il principio del terzo escluso, che nel passato veniva presentato come fatto accettabile senza troppa argomentazione, non è in realtà applicabile sempre. Intuitivamente, si direbbe che non possano esserci molte alternative per una asserzione: o questa è vera o è falsa.

Abbiamo già visto un caso del genere, quando Padre Saccheri, nel tentativo di dimostrare il quinto postulato di Euclide, usò questo metodo per arrivare ad una contraddizione. Sappiamo che era un caso limite in cui non era possibile dire né che il quinto principio fosse falso, né che fosse vero.

Esistono situazioni per cui questa categorizzazione in vero o falso non ha senso, come ad esempio nel celebre Paradosso del Mentitore di Epimenide di Creta: tutti i Cretesi sono bugiardi. In casi come questi, poiché Epimenide era evidentemente cretese, se applichiamo il metodo della dimostrazione per assurdo si ottiene una contraddizione in ogni caso:

1. se Epimenide dice il vero, allora i cretesi sono bugiardi, ed Epimenide dice il falso, in quanto cretese.

2- se Epimenide dice il falso, allora i cretesi dicono la verità, ma allora Epimenide afferma il vero, in quanto cretese.

Vedete ? Supponendo che i cretesi siano bugiardi si ottiene che non lo sono, supponendo invece che dicono la verità, si ottiene che sono bugiardi. In entrambe i casi si deduce il contrario dell’ipotesi, cioè una contraddizione. Dovremo attendere il 1900 per una trattazione formale di questo tipo di problemi e delle affermazioni come queste, dette indecidibili.

L’indecidibilità, ovviamente, è un caso limite su cui torneremo in seguito. Ci sono tuttavia casi in cui il principio del terzo escluso è perfettamente applicabile: Euclide lo usò per dimostrare che i numeri primi sono infiniti.

Considerando che si parla del 300 aC, c’è di che restare stupiti. Lo vedremo nel prossimo post.