Argomento spinosissimo quello delle tasse: tutti le vogliono ma nessuno se le piglia. E’ chiaro che bisogna pagarle, ed è pure abbastanza chiaro che questo sforzo dovremmo farlo tutti. In teoria.
E già che siamo in tema di teoria, vale la pena spendere due parole sull’algoritmo di calcolo delle tasse da corrispondere in funzione del reddito. Riepiloghiamo brevemente i termini, ricordando che a partire da un certo reddito lordo annuo, tutti noi siamo chiamati a corrispondere una certa quota di tasse allo stato italiano. E’ l’Imposta sul Reddito delle Persone Fisiche, o IRPEF, che si corrisponde per fasce di reddito.
Ad ogni fascia di reddito viene associata una aliquota, ovvero un coefficiente di proporzionalità da applicare per il calcolo dell’imposta. E’ un accorgimento corretto dal punto di vista della giustizia sociale perché consente ai redditi più bassi di pagare meno tasse. Ecco la tabella degli scaglioni di reddito e le aliquote corrispondenti, riconfermata dal governo Monti per il 2013:
I redditi fino a 15 mila euro pagano una imposta calcolata sulla aliquota del 23%, ad esempio 10 mila euro pagherebbero 2300 euro di imposta. I redditi superiori applicano il concetto di scaglione, quindi 22 mila euro annui verrebbero tassati al 23% sui primi 15 mila e al 27% sui successivi 7 mila, come segue:
IRPEF(27000) = 15000 x 23% + 7000 x 27% = 3450 + 3240 = 6690 €
Nel corso della mia vita di consulente aziendale mi sono imbattuto più volte nel calcolo dell’IRPEF e ho sempre visto applicare un algoritmo che esplicita tanti casi quanti sono gli scaglioni di reddito. Curioso, perché esiste un modo semplice di calcolare la stessa cosa mediante una formula analitica, non una successione di if…then…else.
Nella nostra borsa del matematico abbiamo tutti gli strumenti per calcolarla, si tratta de:
– la percentuale
– la sommatoria
– le funzioni massimo e minimo
Con questi quattro oggetti è possibile costruire una formula analitica, cioé che prende un valore di reddito in input e restituisce in output l’imposta con gli scaglioni applicati correttamente. Ma come la costruiamo? Andiamo con ordine.
L’idea è di applicare la percentuale di aliquota corretta e pertinente ad ogni scaglione. Occorre quindi una formula che applichi, per ogni scaglione, l’aliquota giusta alla quota parte di reddito. Iniziamo dal primo scaglione, e supponiamo di voler calcolare l’imposta per il reddito R. Se il reddito è inferiore all’estremo superiore dello scaglione (15000) allora applichiamo l’aliquota all’intero reddito R. Se invece è superiore a 15000 applichiamo l’aliquota all’intero scaglione. Possiamo usare la funzione minimo per questo:
min(R, 15000) x 23%
Andiamo ora al secondo scaglione, tra i 15000 ed i 28000: se il reddito è inferiore a 15000, il secondo scaglione deve riportare un contributo IRPEF nullo. Questa condizione si esprime mediante la funzione massimo:
max(0, R-28000)
La funzione massimo serve quindi per azzerare il contributo IRPEF per gli scaglioni superiori al reddit
o R.
Prima di mettere assieme i due termini minimo e massimo, ordiniamo gli estremi degli scaglioni e le aliquote corrispondenti come da tabella a destra, ove figurano anche i due estremi inferiori e superiori del reddito, rispettivamente zero ed infinito. Le funzioni minimo e massimo si compongono assieme come segue:
La sommatoria, che va da 1 al numero n = 5 di scaglioni ed usa l’n+1mo scaglione (il sesto) uguale ad infinito, consente di implementare il calcolo mediante una funzione analitica che non necessita di esplicitare il calcolo esplicito del contributo di ogni scaglione. Nella formula, i termini vengono composti in modo da applicare l’aliquota corrispondente alla quota parte di scaglione, ecco al minimo tra reddito e ed estremo superiore viene sottratto l’estremo inferiore di ogni scaglione. In pratica, implementandola, si deve solo configurare la tabella degli scaglioni e delle rispettive aliquote, svincolandosi dalla riscrittura del software.
Concludiamo esplicitando i passaggi in un esempio di calcolo, per un reddito di 27000€.
Imposta =
MAX(0;MIN(27000;15000)-0)*0,23 +
MAX(0;MIN(27000;28000)-15000)*0,27 +
MAX(0;MIN(27000;55000)-28000)*0,38 +
MAX(0;MIN(27000;75000)-55000)*0,41 +
MAX(0;MIN(27000;99999999)-75000)*0,43
=
MAX(0;15000)*0,23 +
MAX(0;12000)*0,27 +
MAX(0;-1000)*0,38 +
MAX(0;-28000)*0,41 +
MAX(0;-48000)*0,43 +
=
15000*0,23 + 12000*0,27 + 0*0,38 + 0*0,41 + 0*0,43 = 3450 + 3240 = 6690 €
-> Vai all’approfondimento sulla sommatoria.
-> Vai all’approfondimento sul calcolo della percentuale.
