Una clamorosa scoperta che rivoluzionerà la matematica

Grandi cambiamenti in vista per la  matematica, recenti ricerche sulle serie infinite, hanno dimostrato che la somma dei numeri naturali è … un numero negativo!

Ma andiamo con ordine, l’insieme dei numeri naturali, ne abbiamo parlato più volte nel blog, è la serie dei numeri interi positivi, ottenuti aggiungendo 1 a partire dallo zero:

N = 1, 2, 3, 4, 5 …

Ora, la somma degli infiniti termini positivi, deve necessariamente essere un numero positivo. Eppure, non è così ! Vediamo perché.

Diciamo che sia S il valore di tale somma – lo ricordiamo – infinita:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

Prima di arrivare a determinare S, consideriamo quest’altra somma infinita:

S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 ….

si dimostra – e ne omettiamo la dimostrazione in questa sede, che la somma S1 tende ad 1/2. Per comprendere intuitivamente questo risultato, basta considerare che se ci arrestiamo ai termini pari, allora la somma vale 0, se invece terminiamo la somma a quelli dispari, allora vale 1. La somma di questi valori, mediamente, fa proprio 1/2.

Consideriamo ora la somma S2, dei numeri naturali ma alternati di segno:

S2 = 1 – 2 + 3 – 4 …

e usiamo le proprietà dello zero, sommando due volte la S2, ma in questo modo:

2S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + …

+0  +1 -2 +3 -4

ora, sommando in colonna membro a membro, otteniamo che

2 S2 = 1 – 1 + 1 – 1 …

ma abbiamo detto che questa somma fa 1/2 e, quindi:

2 S2 = 1/2

ovvero

S2 = 1/4

Ora, con questo risultato, calcoliamo la differenza tra:

S-S2 = 1 + 2 + 3 + 4 …

-[1 -2 +3 – 4 …]

Interessante è che i termini dispari si semplificano, restando solo quelli pari, ovvero:

S – S2 = 4 + 8 + 12 ….

mettiamo a fattor comune il 4, ed otteniamo:

S – S2 = 4(1 + 2  + 3 + …)

ovvero

S – S2 = 4S

semplificando:

3S = -S2 = -1/4

da cui

S  = – 1/12

A dispetto di chi tenta di infangare il numero 12 nella sua meravigliosa bellezza con frasi fatte tipo “una sporca dozzina”, questo è un risultato importante, perché restituisce dignità al numero 12 che, ricordiamolo, ricorre in diverse entità in natura. Dodici sono ad esempio i mesi dell’anno, i segni dello zodiaco: il numero 12 simbolizza l’autorità e la perfezione divina, e tutto ciò che è perfetto.

Lascio la parola ai professori Sherman Klump – Natty Professor in Fisica teorica ala Blowhard University (Victoria, Australia), e Buddy Love, detentore della stessa cattedra alla Pussy Creek University (Ohio, USA). Entrambe, collaboratori storici di Numberphile, in questo meraviglioso  video dimostrano  l’incredibile risultato. Pensate, ad oggi hanno cumulato oltre 2 milioni di visite :

-> Vai all’approfondimento sui numeri interi e Peano.

-> Vai all’approfondimento sulle somme infinite.