Contiamo l'infinito, i numeri reali (parte 2)

Riprendiamo il post di ieri sugli insiemi di numeri con un semplice esempio pratico: la frazione 4/5 è  un numero razionale, è anche un numero reale, ma non è un numero intero. 4/5 è infatti pari a 0,8. Il numero intero più vicino a 0,8 è, ovviamente, 1.

I numeri reali sono particolari per vari motivi. Ad esempio, la frazione 1/3 ha infinite cifre dopo la virgola ed è anche un razionale perché ottenibile come rapporto di due relativi. I reali contengono numeri impossibili da scrivere come razionali, come ad esempio le radici quadrate.

Tralasciamo il segno, per ora, e concentriamoci unicamente sulla parte positiva dei numeri reali. Prima di procedere al conteggio dei numeri reali, usiamo la definizione di cardinalità vista prima per dimostrare che i numeri reali tra 0 ed 1 sono tanti quanti i numeri reali maggiori di uno. Come possiamo fare ? Occorre trovare una relazione biunivoca tra il sottoinsieme dei numeri reali compresi tra zero ed uno, che indichiamo con l’intervallo [0,1] e la porzione restante dei numeri reali.

Scriviamo A e B in modo formale:

A = {x R | 0 <= x <= 1}

B = {x R | x >= 1}

sono entrambi sottoinsiemi dei reali, e la loro unione è pari all’intero insieme dei reali.

La relazione che cerchiamo è 1/x, detta di reciproco. Cioè se prendiamo un elemento di A e lo invertiamo, otteniamo uno ed un solo elemento di B, e viceversa. Il grafico che segue mostra i due insiemi e la relazione di reciproco che li lega in corrispondenza biunivoca.

Ma se la cardinalità di questi due insiemi è uguale, cioé |A| = |B|, stiamo già osservando un fenomeno davvero curioso dell’insieme dei reali, e cioé che, nonostante A sia apparentemente molto più piccolo B, i due contano lo stesso numero di elementi. E cioé sono due infiniti equivalenti !

Osservate adesso la partizione B dell’insieme dei reali, che contiene infiniti sotto-intervalli di lunghezza 1, come ad esempio tra 2 e 3, tra 3 e 4 e così via. E tutti questi intervalli hanno dimensione uguale all’intero sottoinsieme dei reali maggiore di 1.

Insomma, i reali sono davvero particolari. Domani li contiamo…