Contiamo l'infinito, i numeri reali (parte 1)

Riprendiamo l’argomento della cardinalità
degli insiemi infiniti per raccontare come Cantor dimostrò che non tutti gli infiniti sono di uguali dimensioni. Dopo le abbuffate natalizie ci accontentiamo, per oggi, di un breve riepilogo e qualche nozioncina aggiuntiva.

Può sembrare assurdo,
decisamente controintuitivo, eppure ci sono insiemi infiniti che sono più numerosi di altri. Abbiamo definito, proprio allo scopo,
una versione più sofisticata di concetto di cardinalità, da usare appositamente quando abbiamo a che fare con insiemi infiniti:

due insiemi A e B hanno pari cardinalità se
esiste una corrispondenza biunivoca tra di essi.

Per meglio comprendere questo risultato, abbiamo dovuto arricchire la
nostra borsa del matematico di qualche ferro del mestiere, a cominciare dal concetto di corrispondenza biunivoca come relazione “speciale”, per così dire, in grado di legare uno ad uno gli elementi di un insieme.

Abbiamo anche visto che, usando questa definizione, è possibile determinare se un insieme infinito ha la stessa cardinalità dell’insieme dei numeri naturali. L’infinito dei numeri naturali è stato identificato da Cantor con un simbolo: aleph con pedice zero, o
aleph-zero.

Sappiamo che se è possibile identificare una corrispondenza biunivoca, cioé una relazione insiemistica che collega gli elementi di due insiemi uno ad uno, allora i due insiemi contano lo stesso numero di elementi. Per definizione, un insieme in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali si dice enumerabile. Prendiamo ora l’insieme dei numeri reali che, lo ricordiamo, è composto da numeri con un numero arbitrario di cifre dopo la virgola, comprese radici quadrate e numeri irrazionali come pi greco ed e, il numero di Nepero.

Diamo un po’ di definizioni (non formali) sugli insiemi di numeri:

• Naturali: numeri interi
  senza segno 0, 1, 2, 3, …..
• Relativi: numeri interi con
  il segno …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
  ….
• Razionali: numeri ottenuti
  per frazione di due relativi p e
  q, della forma p / q, con q diverso da zero.
• Numeri Reali:
  con un numero arbitrario di cifre dopo la virgola (inclusi radicali, irrazionali costanti arbitrarie)

Domani entriamo nel vivo del concetto di cardinalità, per oggi ci accontentiamo di formulare una ipotesi: secondo voi, gli insiemi di numeri che abbiamo elencato sopra, sono tutti contenuti l’uno negli altri, come le matrioske russe ?

A domani.